Правоъгълен паралелепипед

[Гост]

Добър ден на всички! Пиша тук, понеже има слабост към... ъглите. Опитах се доста пъти да реша въпросната задача, но в последствие се обърках още повече... Наистина бих се зарадвал, ако някой може да ми даде някаква насока как да реша тази задача. Благодаря предварително на всеки, опитал се да помогне по какъвто и да е начин

Условие:

Даден е правоъгълен паралелепипед [tex]АBCDА_{1 }B_{1}C_{1}D_{1}[/tex] с ръбове АB = [tex]\sqrt{6}[/tex] cm, АD = [tex]\sqrt{3}[/tex] cm и [tex]АА_{1} = 1 cm.[/tex] Намерете големината на ъгъла между правите:

А) А[tex]А_{1 }[/tex] и [tex]CB_{1 }[/tex]
Б) [tex]BC и DА_{1}[/tex]
В) [tex]АB_{1 } и BC[/tex]
Г) [tex]B_{1 }C_{1} и АD_{1}[/tex]

[Nathi123]

Определението за ъгъл между две прави в пространството (може правите да са кръстосани-т.е. да не лежат в една равнина и да нямат обща точка) е : острият ъгъл определен от две пресекателни прави съответно успоредни на дадените и минаващи през произволна точка от пространството.
За а ) условие АА[tex]_{1 }||BB _{1 } \Rightarrow \angle (AA _{1 },BB _{1 } )= \angle BB _{1 } C= \alpha ; \triangle BB _{1 }C \Rightarrow tg \alpha = \frac{BC}{BB _{1 } }= \sqrt{3} \Leftrightarrow \alpha =60 ^\circ[/tex] .
За б) от DA[tex]_{1 }||CB _{1 } \Rightarrow \angle (DA _{1 },BC)= \angle B _{1 }CB= \beta[/tex] и [tex]\triangle BB _{1 }C \Rightarrow tg \beta = \frac{BB _{1 } }{BC} = \frac{1}{ \sqrt{3} } \Leftrightarrow \beta =30 ^\circ[/tex].
За в) може да използваме,че AD||BC[tex]\Rightarrow \Rightarrow \angle (AB _{1 },BC)= \angle B _{1 }AD= \gamma[/tex];т-ма на Питагор[tex]\Rightarrow AB _{1 } = \sqrt{7}[/tex]( от [tex]\triangle ABB _{1 } )[/tex]
аналогично от [tex]\triangle BDB _{1 } \Rightarrow DB _{1 }= \sqrt{BD ^{2}+1 } ; \triangle ABD \Rightarrow BD ^{2 }=9 \Rightarrow DB _{1 }= \sqrt{10}[/tex] От кос. т-ма
за [tex]\triangle ADB _{1 } \Rightarrow \gamma = \frac{7+3-10}{2 \sqrt{21} }=0 \Leftrightarrow \gamma =90 ^\circ[/tex];
г) B[tex]_{1 }C _{1 }||A _{1 }D _{1 } \Rightarrow \angle (AD _{1 },B _{1 }C _{1 })= \angle A _{1 } D _{1 }A= \delta[/tex];
[tex]\triangle A _{1 }D _{1 }A \Rightarrow tg \delta = \frac{AA _{1 } }{A _{1 } D _{1 } }= \frac{1}{ \sqrt{3} } \Leftrightarrow \delta =30 ^\circ[/tex].