Стереометрия - обем на пирамида

[nikola.topalov]

Дадена е четириъгълна пирамида [tex]ABCDM[/tex] с връх [tex]M[/tex] и три прави ръбни ъгъла при върха [tex]D[/tex]. Известно е, че [tex]AB\perp AD[/tex], [tex]MB=\sqrt{5}[/tex] и [tex]AB=\sqrt{2}[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата, ако в нея може да се впише сфера и около нея може да се опише сфера.

[S.B.]

Дадена е четириъгълна пирамида [tex]ABCDM[/tex] с връх [tex]M[/tex] и три прави ръбни ъгъла при върха [tex]D[/tex]. Известно е, че [tex]AB\perp AD[/tex], [tex]MB=\sqrt{5}[/tex] и [tex]AB=\sqrt{2}[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата, ако в нея може да се впише сфера и около нея може да се опише сфера.

Без заглавие - 2022-01-02T074304.524.png (270.35 KiB) Прегледано 320 пъти

От условието ,че при върха $D$ има три ръбни прави ъгъла [tex]\rightarrow \angle ADM = \angle ADC = \angle CDM = 90 ^\circ[/tex]
От условието,че [tex]AB \bot AD \rightarrow \angle DAB = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\begin{cases} \angle ADC = 90 ^\circ \\ \angle BAD = 90 ^\circ \end{cases} \Rightarrow AB || CD[/tex] (равни прилежащи ъгли при две прави пресечени с трета следва,че правите са успоредни)
От условието,че около пирамидата може да се опише сфера ,следва,че около основата $ABCD$ може да се опише окръжност:[tex]\Rightarrow \angle DAC + \angle DCB = 180 ^\circ \Leftrightarrow \angle DCB = 90 ^\circ[/tex]
Оказа се,че основата $ABCD$ има три прави ъгъла [tex]\Rightarrow ABCD[/tex] е правоъгълник и [tex]BC \bot DC[/tex]
Според теоремата за трите перпендикуляра [tex]AB \bot AM, BC \bot CM[/tex] и следователно $AM$ и $CM$ са височини в стените $(ABM)$ и $(BCM)$
$AD$ е проекция на $AM$ в основата
$CD$ е проекция на $CM$ в основата
От условието,че в пирамидата може да се впише сфера следва,че проекциите на височините на страните са равни
[tex]\Rightarrow AD = CD[/tex]
Получи се,че $ABCD$ е правоъгълник с равни съседни страни [tex]\Rightarrow ABCD[/tex] е квадрат със страна [tex]\sqrt{2} \Rightarrow BD = 2[/tex]

От [tex]DM \bot AD ,DM \bot CD, CD \cap AD = D \Rightarrow DM \bot (ABCD) \Rightarrow DM \bot BD[/tex]
За [tex]\triangle BDM[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам $DM = 1$

[tex]V_{ABCDM } = \frac{ S_{ABCD }.DM }{3} \Leftrightarrow V_{ABCDM } = \frac{ (\sqrt{2}) ^{2 }.1 }{3}[/tex]
$$V_{ABCDM } = \frac{2}{3} $$

[S.B.]

[tex]\begin{cases} \angle ADC = 90 ^\circ \\ \angle BAD = 90 ^\circ \end{cases} \Rightarrow AB || CD[/tex] (равни прилежащи ъгли при две прави пресечени с трета следва,че правите са успоредни)

Да се чете:
"......(сборът от прилежащите ъгли образувани при пресичането на две прави с трета е [tex]180 ^\circ \Rightarrow[/tex] двете прави са успоредни)"
Съжалявам за грешката!

[nikola.topalov]

Страхотно решение. Браво!

[S.B.]

Страхотно решение. Браво!

Благодаря!