За любителите на призмите

[S.B.]

Правилна триъгълна призма има дължина на основния ръб $a$ и дължина на околния ръб $2a$.Под какъв ъгъл към равнината на основата на призмата трябва да се прекара равнина минаваща през основен ръб,така че обемите на двете тела,на които равнината разделя призмата,се отнасят както $1:3$

Скрит текст: покажи

Отговор: Първи случай: [tex]\alpha = 60 ^\circ[/tex],втори случай :[tex]\tg \alpha = \frac{8( \sqrt{3}+ \sqrt{2}) }{3}[/tex]

[nikola.topalov]

Задачата е хубава. Утре ще пусна решение, ако не забравя.

[nikola.topalov]

Разглеждаме правилната триъгълна призма [tex]ABCA_1B_1C_1[/tex]. Нека равнината през основния ръб [tex]AB[/tex] пресича [tex]CC_1[/tex] в [tex]P[/tex] и [tex]D[/tex] е средата на [tex]AB[/tex]. Ще разгледаме два случая: когато [tex]P[/tex] е от отсечката [tex]CC1[/tex] и когато е от продължението ѝ.

Първи случай: Нека [tex]P[/tex] е от отсечката [tex]CC_1[/tex]. Ясно е, че [tex]\sphericalangle PDC=\phi[/tex] е линеен ъгъл на двустенния ъгъл между равнините [tex](ABC)[/tex] и [tex](ABP)[/tex]. През [tex]P[/tex] прекарваме равнина, успоредна на [tex](ABC)[/tex], която пресича ръбовете [tex]AA_1[/tex] и [tex]BB_1[/tex] съответно в [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex]. Нека [tex]PH\perp MN[/tex] ([tex]H\in MN[/tex]).

geogebra-11.png (81.97 KiB) Прегледано 323 пъти

Имаме, че [tex](MNP)\perp (ABB_1A_1)[/tex] и следователно височината на четириъгълната пирамида [tex]ABNMP[/tex] се съдържа в околната стена [tex]MNP[/tex]. Тогава $$V_{ABNMP}=\dfrac{PH\times S_{ABNM}}{3}$$ Означаваме си [tex]CP=x[/tex]. И така намираме $$V_{ABNMP}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}a^2x$$ Отделно пресмятаме $$V_{ABCP}=\dfrac{PC\times S_{ABC}}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{12}a^2x$$ Вече се вижда, че [tex]V_{ABNMP}=2V_{ABCP}[/tex]. Важно е да съобразим, че условието [tex]V_{ABCP}:V_{ABPA_1B_1C_1}=1:3[/tex] би следвало да е удовлетворено в този случай, защото [tex]V_{ABNMP}>V_{ABCP}[/tex], следователно [tex]V_{ABCP}=V_{MNPA_1B_1C_1}[/tex] (заради даденото отношение на обемите). Намираме $$V_{MNPA_1B_1C_1}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2(2a-x)$$ с формулата за обем на призма, а оттук след изравняване получаваме [tex]x=\dfrac{3}{2}a[/tex]. Тогава [tex]\tg\phi=\sqrt{3}[/tex] от правоъгълния [tex]\triangle DCP[/tex], т.е. [tex]\phi=60^\circ[/tex].

Втори случай: Нека [tex]P[/tex] е от продължението на [tex]CC_1[/tex]. Тогава равнината през основния ръб [tex]AB[/tex] ще пресече [tex](A_1B_1C_1)[/tex] в права, успоредна на [tex]AB[/tex]. Нека тази права пресича ръбовете [tex]A_1C_1[/tex] и [tex]B_1C_1[/tex] съответно в точките [tex]T_1[/tex] и [tex]S_1[/tex], а [tex]F_1[/tex] е средата на [tex]T_1S_1[/tex]. През [tex]T_1S_1[/tex] прекарваме равнина, успоредна на [tex](ABB_1A_1)[/tex], която пресича [tex]AC[/tex] и [tex]AB[/tex] съответно в точките [tex]T[/tex] и [tex]S[/tex], а с [tex]F[/tex] означаваме пресечната точка на [tex]CD[/tex] и [tex]TS[/tex].

geogebra-export (233).png (81.12 KiB) Прегледано 323 пъти

Очевидно [tex]\sphericalangle F_1DC=\phi[/tex] е линеен ъгъл на двустенния ъгъл между равнините [tex](ABC)[/tex] и [tex](ABP)\equiv(ABS_1T_1)[/tex]. Нека [tex]BS=y[/tex]. Пресмятаме $$V_{ABCT_1S_1C_1}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}a(3a^2-3ay+y^2)$$ с формулата за обем на пресечена пирамида. Тъй като $$V_{ABCA_1B_1C_1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^3$$ то следователно $$V_{ABB_1A_1S_1T_1}=V_{ABCA_1B_1C_1}-V_{ABCT_1S_1C_1}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}ay(3a-y)$$ Имаме, че [tex]V_{ABB_1A_1T_1S_1}:V_{ABCT_1S_1C_1}=1:3[/tex], откъдето стигаме до хомогенното уравнение $$4y^2-12ay+3a^2=0\iff \dfrac{y}{a}=\dfrac{3\pm\sqrt{6}}{2}$$ Но [tex]y<a[/tex] и значи $$\dfrac{y}{a}<1\iff \dfrac{y}{a}=\dfrac{3-\sqrt{6}}{2}\iff y=\dfrac{3-\sqrt{6}}{2}a$$ Оттук намираме и [tex]DF[/tex] и влизаме в правоъгълния [tex]\triangle DFF_1[/tex], чиито два катета вече са известни: $$DF=\dfrac{3}{4}(\sqrt{3}-\sqrt{2})a, \ FF_1=2a\iff\tg\phi=\dfrac{8}{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})$$

[KOPMOPAH]

Триъгълна пирамида_1.png (18.58 KiB) Прегледано 322 пъти

Според означенията на чертежа височината на триъгълната пирамида $ABCF$ е $x$, а обемът ѝ$$V_{ABCF}=\frac 13B.x,$$където $B$ е лицето на основата. По условие $$V_{ABCF}=\frac 14 V_{ABCA_1B_1C_1}$$ $$\frac 13B.x=\frac 14 B.2a\Rightarrow x=\frac 32a$$ $$\tg \varphi_1=\frac {FC}{CD}=\frac {\displaystyle\frac 32a}{\displaystyle\frac {a\sqrt 3}2}=\sqrt 3\Rightarrow \varphi_1=60^\circ$$

На това място, получавайки такава хубава стойност за ъгъла, бях сигурен, че задачата е решена. Да, ама не...

Има още едно разделяне на призмата на две тела, обемите на които се отнасят както $1:3$ и това е изобразено на следващия чертеж

Триъгълна пирамида_2.png (25.18 KiB) Прегледано 322 пъти

Вече обозначихме лицето на долната основа $ABC$ с $B$, нека лицето на горната е $T$. Тялото $ABCC_1GH$ е пресечена пирамида, чийто обем се дава с формулата $$V_{ABCC_1GH}=\frac 132a(B+\sqrt{BT}+T)$$
По условие$$V_{ABCC_1GH}=\frac 34 V_{ABCA_1B_1C_1}\Rightarrow \frac 132a(B+\sqrt{BT}+T)=\frac 34 B.2a$$След преработка стигаме до$$T+\sqrt{BT}-\frac54B=0$$Решаваме последното равенство като квадратно уравнение спрямо $\sqrt{T}$ с един положителен корен$$\sqrt T=\frac{\sqrt B(\sqrt 6-1)}2$$ $$\frac {\sqrt T}{\sqrt B}=\frac{(\sqrt 6-1)}2$$Последното равенство е ценно с това, че ни дава съотношението на страните на горната и долната основа, доколкото линейните елементи на подобните фигури се отнасят както квадратните корени на лицата им.

Отбелязваме $C_1M$ с $y$ и от $\triangle HC_1M \approx \triangle ABM$ следва $$ \frac {\sqrt 6-1}2=\frac y{y+2a}$$
След преработка получаваме$$y=\frac {2a(3+2\sqrt 6)}3$$ $$\tg \varphi_2=\frac{\displaystyle\frac {2a(3+2\sqrt 6)}3+2a}{\displaystyle\frac{a\sqrt 3}2}=\cdots=\frac {8(\sqrt 3+\sqrt 2)}3$$

[S.B.]

Благодаря на колегите KOPMOPAH и nikola.topalov за вниманието и за хубавите решения!

[KOPMOPAH]

Благодаря на колегите KOPMOPAH и nikola.topalov за вниманието и за хубавите решения!

Чакаме следващите задачи от изчезващото изкуство на стереометрията.

[Гост]

Благодаря на колегите KOPMOPAH и nikola.topalov за вниманието и за хубавите решения!

Чакаме следващите задачи от изчезващото изкуство на стереометрията.

искате ли да ви измисля или предложа задачи, базирани на тая? можете и сами да си измисляте

[Гост]

А тебе кой те пита кой номер гащи носиш????!!!