Четириъгълна призма

[nikola.topalov]

В сфера с радиус [tex]\sqrt{14}[/tex] е вписана права четириъгълна призма (с основа трапец), която е описана около сфера с радиус [tex]\sqrt{2}[/tex]. Да се намери обемът на призмата.

[S.B.]

В сфера с радиус [tex]\sqrt{14}[/tex] е вписана права четириъгълна призма (с основа трапец), която е описана около сфера с радиус [tex]\sqrt{2}[/tex]. Да се намери обемът на призмата.

Без заглавие - 2022-01-27T160058.906.png (680.29 KiB) Прегледано 338 пъти

Условието,че призмата е описана около сфера,означава,че сферата се допира до стените и основите на призмата - т. е. височината на призмата е равна на диаметъра на сферата:$$A A_{1 } = 2 \sqrt{2} $$
Ако пресечем призмата с равнина,минаваща през средата на [tex]A A_{1 } - т. M[/tex] и успоредна на основите,ще получим сечението $MNPQ$,което ще минава през центъра $J$ на сферата.Това е трапец еднакъв с основите ,в който е вписана голямата окръжност на вписаната сфера.Ако MN = a,PQ = b,NP = c,MQ = d ,тогава е изпълнено $a + b = c+ d$

Условието,че призмата е вписана в сфера означава,че около основата може да се опише окръжност [tex]\Rightarrow[/tex] основата е равнобедрен трапец.Центъра на описаната сфера е пресечната точка на перпендикуляра издигнат от центъра на описаната около основата окръжност и перпендикуляра издигнат от центъра на описаната около някоя от околните стени окръжност.

Търси се обема на призмата:
[tex]V = S_{ABCD } . AA_{1 } \Leftrightarrow V = S_{ABCD }.2 \sqrt{2}[/tex]

Нека [tex]O_{1 }[/tex] е пресечната точка на симетралите на страните на $ABCD$ [tex]\Rightarrow O_{1 }[/tex] е център на описаната около $ABCD$ окръжност;
Нека [tex]O_{2 }[/tex] е пресечната точка на диагоналите на правоъгълника [tex]AD D_{1 } A_{1 } \Rightarrow O_{2 }[/tex] е център на описаната около [tex]AD D_{1 } A_{1 }[/tex] окръжност.
Построявам правите [tex]p \begin{cases} p Z O_{2 } \\ p \bot (AD D_{1 } A_{1 }) \end{cases}[/tex] и [tex]q \begin{cases} q Z O_{1 } \\ q \bot (ABCD)\end{cases}[/tex]

[tex]p \cap q = O[/tex] ,където точка $O$ е центърът на описаната сфера
[tex]О_{2 }К \bot AD , O_{2 }K O_{1 } O[/tex] е правоъгълник и [tex]O_{1 }O = O_{2 }K = \sqrt{2}, AO = \sqrt{14}[/tex]( това е радиуса на описаната сфера)
[tex]O_{1 }A = r_{1 }[/tex] (радиус на описаната около $ABCD$ окръжност)

За [tex]\triangle OAO_{1 }[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам [tex]r_{1 } = 2 \sqrt{3}[/tex]
В трапеца $MNPQ$ окръжността с център $J$ и радиус [tex]\sqrt{2}[/tex] се допира до $NP$ в т.$T$,
[tex]\triangle NJP[/tex] е правоъгълен ,[tex]JT \bot NP \Rightarrow JT^{2 } = NT.TP \Leftrightarrow 2 = \frac{a}{2}. \frac{b}{2} \Rightarrow[/tex]
$$ab = 8$$
В зеления чертеж на $MNPQ$:
[tex]PH \bot MN, H \in MN[/tex]
От [tex]\triangle HNP \rightarrow \sin \varphi = \frac{4 \sqrt{2} }{a +b} ,\cos \varphi = \frac{a - b}{a +b}[/tex]
За [tex]\triangle MNP[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]MP^{2 } = MN^{2 } + NP^{2 } - 2,MN.NP.\cos \varphi \Leftrightarrow d^{2 } = a^{2 } + ( \frac{a + b}{2}) ^{2 } - 2.a. \frac{a + b}{2}. \frac{a - b}{a +b} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]d^{2 } = a^{2 } + ( \frac{a + b}{2}) ^{2 } - a ^{2 } + ab[/tex]
От [tex]a + b + c + d = P[/tex] и $a + b = c + d$
$$\rightarrow a + b = p$$
[tex]d^{2 } = \frac{ p^{2 } }{4} + 8 \Rightarrow[/tex]
$$d = \sqrt{ \frac{ p^{2 } + 32 }{4} } $$
За [tex]\triangle MNP[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{d}{\sin \varphi } = 2. r_{1 } \Leftrightarrow d = \sin \varphi . r_{1 } \Leftrightarrow \sqrt{ \frac{ p^{2 } }{4} } = 4 \sqrt{3} \frac{4 \sqrt{2} }{a + b}[/tex]
[tex]\sqrt{ \frac{ p^{2 } + 32 }{4} } = \frac{16 \sqrt{6} }{p} \Leftrightarrow .... p^{4 } + 32 p^{2 }- 6144 = 0[/tex]
Нека [tex]p^{2 } = t > 0[/tex]
[tex]t^{2 } + 32t - 6144 = 0 ,D = 160^{2 }, t_{1,2 } = \frac{-32 \pm 160 }{2} , t_{1 } < 0 , t_{2 } = 64[/tex]
[tex]p_{1,2 } = \pm \sqrt{64}, p > 0 \Rightarrow p = 8[/tex]
[tex]S_{ABCD } = p.r \Leftrightarrow S_{ABCD } = 8 \sqrt{2}[/tex]
[tex]V = S_{ABCD }. AA_{1 } \Leftrightarrow V = 8 \sqrt{2}.2 \sqrt{2} \Rightarrow[/tex]
$$V = 32$$

[Гост]

Има малка техническа грешка при набирането на текста но не влияе на отговора