Триъгълна пирамида

[nikola.topalov]

В сфера с център [tex]O[/tex] и радиус [tex]3\sqrt{2}[/tex] е вписана триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex], основата на която е равностранният [tex]\triangle ABC[/tex] със страна [tex]4\sqrt{3}[/tex]. Околната стена [tex]ABD[/tex] е перпендикулярна на основата и [tex]AD=BD[/tex]. Пирамидата е пресечена с равнина [tex]\alpha[/tex], съдържаща [tex]O[/tex] и успоредна на [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex]. Да се намери лицето на сечението на пирамидата с [tex]\alpha[/tex], ако [tex](ABO)\perp\alpha[/tex].

[vezni]

В сфера с център [tex]O[/tex] и радиус [tex]3\sqrt{2}[/tex] е вписана триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex], основата на която е равностранният [tex]\triangle ABC[/tex] със страна [tex]4\sqrt{3}[/tex]. Околната стена [tex]ABD[/tex] е перпендикулярна на основата и [tex]AD=BD[/tex]. Пирамидата е пресечена с равнина [tex]\alpha[/tex], съдържаща [tex]O[/tex] и успоредна на [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex]. Да се намери лицето на сечението на пирамидата с [tex]\alpha[/tex], ако [tex](ABO)\perp\alpha[/tex].

Не съм убеден, че това условие е вярно. Равнината $\alpha$, минаваща през $O$ и успоредна на $AB$ и $CD$, е единствена. Оттук и ъгълът между $(ABO)$ и $\alpha$ е еднозначно определен. Защо този ъгъл да е $90\degree$?

[S.B.]

В сфера с център [tex]O[/tex] и радиус [tex]3\sqrt{2}[/tex] е вписана триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex], основата на която е равностранният [tex]\triangle ABC[/tex] със страна [tex]4\sqrt{3}[/tex]. Околната стена [tex]ABD[/tex] е перпендикулярна на основата и [tex]AD=BD[/tex]. Пирамидата е пресечена с равнина [tex]\alpha[/tex], съдържаща [tex]O[/tex] и успоредна на [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex]. Да се намери лицето на сечението на пирамидата с [tex]\alpha[/tex], ако [tex](ABO)\perp\alpha[/tex].

Според мен в условието има грешка....
Извинявам се !Грешката е моя!

[KOPMOPAH]

Дали наистина ъгълът между двете равнини е прав? Задачата ми се струва преопределена

[S.B.]

Дали наистина ъгълът между двете равнини е прав? Задачата ми се струва преопределена

Аз реших задачата и без това условие,но не мисля да публикувам решението,защото сметките са убийствени.Вярно е,че ако се довери човек на условието ,че [tex](AOB) \bot \alpha[/tex] се получават по- приемливи сметки.Ето защо аз си направих труда да проверя ъгъла образуван от равнините $(ABO)$ и търсената равнина [tex]\alpha[/tex]

Без заглавие - 2022-02-05T082528.091.png (209.8 KiB) Прегледано 294 пъти

Прилагам чертеж на сечението на пирамидата по ръба $DC$, перпендикулярно на основата $ABC$ - [tex]\triangle D C_{1 }C[/tex]
Предварително намерих както следва:
[tex]O_{1 }O = \sqrt{2}[/tex](разстоянието от центъра на сферата до центъра на описаната около основата окръжност)
[tex]C C_{1 } = 6 \Rightarrow C_{1 } O_{1 } = 2[/tex] (височината в основата $ACB$)
[tex]r_{2 } = \sqrt{14}[/tex] (радиус на описаната около [tex]\triangle ABD[/tex] окръжност)
[tex]C_{1 }D = \sqrt{2} (1 + \sqrt{7})[/tex]
От [tex]\triangle C_{1 }CD \rightarrow \tg \varphi = \frac{ \sqrt{2}(1 + \sqrt{7} }{6}[/tex]
От [tex]\triangle O_{1 }OP \rightarrow O_{1 }P = \frac{6}{1 + \sqrt{7} }[/tex]
[tex]C_{1 }P = C_{1 } O_{1 } + O_{1 } P \Leftrightarrow C_{1 }P = \frac{2(4 + \sqrt{7}) }{1 + \sqrt{7} }[/tex]
От [tex]\triangle OP O_{1 }[/tex] по Питагор получавам [tex]OP = \frac{ \sqrt{2} \sqrt{ \sqrt{7} + 23 } }{1 + \sqrt{7} }[/tex]
От [tex]\triangle C_{1 } O_{1 }O \rightarrow C_{1 }O = \sqrt{6}[/tex]
При така намереното прилагам за [tex]\triangle C_{1 }OP[/tex] Косинусова теорема за [tex]\angle \gamma[/tex]
[tex]\cos \gamma = \frac{ C_{1 }P ^{2 } - C_{1 }O ^{2 } - OP^{2 } }{- 2.OP.O C_{1 } }[/tex]
След като предоставих всички данни оставям удоволствието от сметките на колегата nikola.topalov.
Аз лично получих,че [tex]\cos \gamma \ne 0 \Rightarrow \gamma \ne 90 ^\circ[/tex]

[vezni]

Понеже и на мен не ми се смята, направих чертеж в GeoGebra . Ако $O$ е "под" основата $ABC$, се получава, че $\alpha$ въобще не пресича пирамидата и ъгълът между $(ABO)$ и $\alpha$ е $\approx 14,06\degree$. Ако $O$ е "над" основата, се получава за лицето на сечението $\approx 13,07$ и за въпросния ъгъл $\approx 75,94\degree$. Така че ако се вярва на GeoGebra, в условието има противоречие.