Стереометрия

[Гост]

В единичен куб намерете ъгъла между равнините AB1D1 и BA1C1.

Мисля, че първо трябва да се намери общата им пресечница и след това да се построят перпендикуляри към двете равнини и ще разберем линейният ъгъл на двустенния ъгъл, но определено се нуждая от помощ!

[KOPMOPAH]

Куб-3.png (16.2 KiB) Прегледано 291 пъти

Мисля, че първо трябва да се намери общата им пресечница и след това да се построят перпендикуляри към двете равнини...

Триъгълниците $\triangle AB_1D_1$ и $\triangle A_1BC_1$ са равностранни, защото страните им са равни на диагоналите на стените на куба, т.е. $AB_1=B_1D_1=D_1A=\cdots=\sqrt 2$. Диагоналите $AB_1$ и $A_1B$ се пресичат в т.$H$, а $B_1D_1$ и $A_1C_1$ - в т.$G$. Следователно точките $G$ и $H$ принадлежат и на двете равнини, значи те определят пресечницата им - правата $a$.

Съединяваме средата на $GH$ с $A_1$ и $B_1$. За равностранните триъгълници $\triangle A_1GH$ и $\triangle B_1GH$ отсечките $A_1I$ и $B_1I$ се явяват височини. Точките $G$ и $H$ разполовяват диагоналите, следователно $GH$ е средна отсечка както за $\triangle AB_1D_1$, така и за $\triangle A_1BC_1$. Оттам следва, че $A_1I$ и $B_1I$ са равни на половината височина на $\triangle A_1BC_1$, съответно $\triangle AB_1D_1$ $$A_1I=\frac 12\frac {\sqrt 2\sqrt 3}{2}=\frac {\sqrt 6}4, ~~B_1I=\cdots=\frac {\sqrt 6}4$$Търсеният ъгъл между равнините е $\measuredangle A_1IB_1$. Прилагаме косинусова теорема за $\triangle A_1IB_1$ и получаваме $$A_1B_1^2=A_1I^2+B_1I^2-2.A_1I.B_1I\cos \measuredangle A_1IB_1\Rightarrow \cos \measuredangle A_1IB_1=\frac{A_1I^2+B_1I^2-A_1B_1^2}{2.A_1I.B_1I}=\frac {\displaystyle \left(\frac {\sqrt 6}4\right)^2+\left(\frac {\sqrt 6}4\right)^2-1}{\displaystyle 2\frac {\sqrt 6}4.\frac {\sqrt 6}4}=\frac{\displaystyle\left(\frac {6}{16}\right)+\left(\frac {6}{16}\right)-1}{\displaystyle 2.\left(\frac {6}{16}\right)}=-\frac 13$$
Косинусът на търсения ъгъл е $-\frac 13$, ако не съм объркал някъде сметките.

Всъщност такъв тип задачи се решават доста по-лесно със средствата на аналитичната геометрия, но се боя, че тя не се изучава в средния курс.

[S.B.]

Куб-3.png

Косинусът на търсения ъгъл е $-\frac 13$, ако не съм объркал някъде сметките.

Аз получих същия отговор