Стереометрия помощ

[Гост]

ABCA1B1C1 е права триъгълна призма, основата на която е триъгълник ABC, за който AB=2, AC=[tex]2\sqrt{2}[/tex], <BAC=45[tex]^\circ[/tex]. Ако височината на призмата е 2 и M и N са средите съответно на AC и AB, да се намери разстоянието между правите B1N и A1M.

[nikola.topalov]

Допълваме [tex]\triangle NMA_1[/tex] до успоредника [tex]NMA_1Q[/tex]. Ясно е, че [tex]Q\in(A_1B_1C_1)[/tex]. Понеже [tex]A_1M\parallel QN[/tex] и [tex]QN\subset (QNB_1)[/tex], то [tex]A_1M\parallel (QNB_1)[/tex]. Следователно търсеното разстояние [tex]d[/tex] е равно на разстоянието от коя да е точка от правата [tex]A_1M[/tex] до [tex](QNB_1)[/tex]. По тази логика височината през върха [tex]A_1[/tex] на тетраедъра [tex]QNB_1A_1[/tex] е равна на това разстояние. Предоставям и чертеж:

geogebra-export.png (114.39 KiB) Прегледано 279 пъти

Ще процедираме така: Намираме [tex]V_{QNB_1A_1}[/tex], отделно лицето на [tex]\triangle QNB_1[/tex], а оттам и [tex]d[/tex], използвайки формулата за обем на пирамида: $$V_{QNB_1A_1}=\dfrac{1}{3}S_{QNB_1}d \quad (1)$$ Да започнем от това, че основата на призмата е правоъгълен равнобедрен триъгълник с прав ъгъл при върха [tex]B[/tex], следователно [tex]BC=2[/tex]. Имаме, че [tex]V_{QNB_1A_1}=V_{A_1NM}[/tex], защото [tex]S_{QNA_1}=S_{A_1NM}[/tex]. Освен това $$V_{QNB_1A_1}=V_{ABCA_1B_1C_1}-V_{ANMA_1}-V_{NBCMB_1}-V_{A_1C_1CMB_1} \quad (2)$$ Обемът на призмата е ясен [tex]-[/tex] [tex]V_{ABCA_1B_1C_1}=4[/tex]. Да видим сега, например, пирамидата [tex]ANMA_1[/tex]. Височината ѝ е [tex]AA_1=2[/tex], а основата ѝ е правоъгълен равнобедрен триъгълник с катет [tex]1[/tex]. Следователно [tex]V_{ANMA_1}=\dfrac{1}{3}[/tex]. Пирамидата [tex]NBCMB_1[/tex] (чиято височина е [tex]BB_1=2[/tex]) пък е с основа правоъгълния трапец [tex]NBCM[/tex], лицето на който е равно на [tex]\dfrac{3}{2}[/tex]. Оттук намираме и [tex]V_{NBCMB_1}=1[/tex]. Остана да намерим обема на пирамидата [tex]A_1C_1CMB_1[/tex], основата на която също е правоъгълен трапец (чието лице откриваме, че е [tex]3\sqrt{2}[/tex]), само че височината ѝ този път не е равна на [tex]2[/tex]. Да видим [tex]-[/tex] понеже [tex](ACC_1A_1)\perp (A_1B_1C_1)[/tex], то височината на пирамидата се съдържа в равнината [tex](A_1B_1C_1)[/tex]. Същата тази височина е височина и в равнобедрения правоъгълен [tex]\triangle A_1B_1C_1[/tex], следователно е равна на [tex]\sqrt{2}[/tex]. И така получаваме [tex]V_{A_1C_1CMB_1}=2[/tex]. Връщаме се към [tex](2)[/tex] и намираме $$V_{QNB_1A_1}=\dfrac{2}{3}$$ Остана лицето на [tex]\triangle QNB_1[/tex]. Пресмятаме [tex]NB_1=QB_1=\sqrt{5}[/tex] с питагорова теорема за [tex]\triangle NBB_1[/tex] и [tex]\triangle QB_1A_1[/tex], и [tex]QN=A_1M=\sqrt{6}[/tex] от [tex]\triangle AMA_1[/tex]. Оттук лесно намираме $$S_{QNB_1}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}$$ и вече сме готови да заместим в [tex](1)[/tex] и окончателно да получим $$d=\dfrac{4\sqrt{21}}{21}$$