Стереометрия

[Гост]

ABCM - триъгълна пирамида
Триъгълник ABC - основа, [tex]\angle[/tex] C =90°
AC = 6 см.
BC = 8 см.
BM[tex]\bot[/tex] (ABC)
BM = BC

a) S1 =?
б) V =?
в) tg [tex]\angle[/tex] (AM; (ABC)) =?

[mail_dinko]

Най-напред намираме повърхнината на основата
[tex]B = AC.BC . \frac 12 = 24[/tex]
По условие [tex]BM = CB = 8[/tex]
[tex]BM \bot ACB \Rightarrow BM = H[/tex]
[tex]V = \frac 12 . AC. BC. \frac {H}{3} = \frac 16 .6.8^2 \Rightarrow \fbox {V=64}[/tex]
За да намерим околната повърхнина е необходимо да намерим лицата на трите околни стени и да ги съберем
[tex]S _ {\triangle CBM} = \frac 12 CB.BM = 32[/tex]
По питагоровата теорема [tex]AB = \sqrt {AC^2 + BC^2} = 10[/tex]
[tex]S _ {\triangle ABM} = \frac 12 AB. BM = 40[/tex]
По питагоровата теорема [tex]MC = \sqrt {MB^2 + CB^2 } = \sqrt {2.8^2} = 8\sqrt {2}[/tex]
По питагоровата теорема [tex]MA = \sqrt {MB^2 + AB^2 } = \sqrt {64+100} = \sqrt {164} = 2 \sqrt {41}[/tex]
По херонова ф-ла може да се намери лицето на триъгълник ACM
[tex]p_{\triangle ACM} =\frac {P_{\triangle ACM}}{2}=\frac {{6+ 8\sqrt {2} + 2 \sqrt {41} }}{2}= 3+ 4\sqrt {2} + \sqrt {41}[/tex]
[tex]S _ {\triangle CAM} =\sqrt {p(p-AC)(p-MA)(p-CM)}=[/tex]
[tex]=\sqrt {(3+ 4\sqrt {2} + \sqrt {41})(3+ 4\sqrt {2} + \sqrt {41}-6)(3+ 4\sqrt {2} + \sqrt {41}-2\sqrt {41})(3+ 4\sqrt {2} + \sqrt {41}-8 \sqrt {2})}=[/tex]
[tex]=\sqrt {(32+41+ 8 \sqrt {82}-9)(3+ 4\sqrt {2} -\sqrt {41})(3- 4\sqrt {2} + \sqrt {41})}=[/tex]
[tex]=\sqrt {(64+ 8 \sqrt {82})(9-12 \sqrt{2} + 3 \sqrt {41} =12 \sqrt {2}-32+ 4 \sqrt {82}-3 \sqrt {41} + 4 \sqrt {82}-41)}=[/tex]
[tex]=\sqrt {(8 \sqrt {82} + 64)(8 \sqrt {82} - 64) }= \sqrt {64.82-64^2}= \sqrt {64(82-64)}= 8 .\sqrt {18}[/tex]
[tex]S _ {\triangle CAM} =24.\sqrt {2}[/tex]
[tex]S_1 = 32+40+24 \sqrt {2}+24 = 96+ 24 \sqrt {2} = 24 (4+ \sqrt {2})[/tex]

[tex]tg \angle MAB = \frac {MB}{AB} = \frac 45[/tex]

ВТОРИ НАЧИН за триъгълник АСМ, но не мисля, че е по-лесно - да се намери чрез косинусовата теорема косинус на един от ъглите, след което синус; след това се използва ф-лата [tex]S _ {\triangle ACM} = \frac 12 sin \angle AMC . AM. MC[/tex]

[Гост]

Всъщност като намерим че AC = 6, MC = 8√2, AM = 2√41, нали можем да твърдим, че [tex]\angle[/tex] ACM = 90° по пит теорема и да не използваме Хероновата формула... Аз лично пак получих 24√2


Имам и още един въпрос : след като знаем от условието, че BM[tex]\bot[/tex] (ABC)

[tex]\rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex] MBC = [tex]\angle[/tex] MBA = 90°/ Най вероятно това е от теоремата за трите перпендикуляри, но бих желал да изкажете мнение.