Триъгълна пирамида

[Гост]

Околните ръбове на пирамида имат дължина b. Основата е правоъгълен триъгълник, катетите на който се отнасят както m:n, а хипотенузата е c. Намерете обема на пирамидата.

[ammornil]

Околните ръбове на пирамида имат дължина b. Основата е правоъгълен триъгълник, катетите на който се отнасят както m:n, а хипотенузата е c. Намерете обема на пирамидата.

220312_004.png (12.25 KiB) Прегледано 238 пъти

[tex]AM=BM=CM=b[/tex]
[tex]AB=c, AC=m.x, BC=n.x[/tex]
[tex]\triangle ABC \rightarrow \angle ACB=90 ^\circ \Rightarrow c^{2}=m^{2}x^{2}+n^{2}x^{2} \Leftrightarrow c^{2}=x^{2}(m^{2}+n^{2}) \Leftrightarrow x^{2} = \frac{c^{2}}{m^{2}+n^{2}} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{c^{2}}{m^{2}+n^{2}}}=\frac{c\sqrt{m^{2}+n^{2}}}{m^{2}+n^{2}}[/tex]

[tex]B_{ABCM}=S_{ABC}=\frac{AC.BC}{2}=\frac{mx.nx}{2}=\frac{m.n.x^{2}}{2}=\frac{1}{2}.m.n. \frac{c^{2}}{m^{2}+n^{2}} \Rightarrow B_{ABCM}=\frac{m.n.c^{2}}{2(m^{2}+n^{2})}[/tex]

Нека височината на пирамидата е [tex]MO=H, \Rightarrow MO \bot p(ABC) \Rightarrow \triangle MOA \cong \triangle MOB \cong \triangle MOC \because \begin{cases} AM=BM=CM=b \\ MO-обща \\ \angle MOA=\angle MOB =\angle MOC =90 ^\circ \end{cases} \rightarrow\ IV\ признак[/tex]
[tex]\Rightarrow AO=BO=CO \Rightarrow[/tex] точка [tex]O[/tex] е център на описаната около основата окръжност.
Но основата е правоъгълен триъгълник, следователно [tex]O[/tex] е средата на хипотенузата, [tex]\Rightarrow AO=BO=CO=\frac{c}{2}[/tex]

[tex]\triangle AOM \rightarrow\ правоъгълен \Rightarrow AM^{2}=AO^{2}+MO^{2} \Rightarrow MO^{2}=H^{2}=AM^{2}-AO^{2} \Rightarrow H^{2}=b^{2}-\frac{c^{2}}{4} \Rightarrow H^{2}=\frac{4b^{2}-c^{2}}{4} \Rightarrow[/tex]

[tex]H=\sqrt{\frac{4b^{2}-c^{2}}{4} } = \frac{1}{2}\sqrt{4b^{2}-c^{2}}[/tex]

[tex]V_{ABCM}=\frac{1}{3}.B_{ABCM}.H=\frac{1}{3}.\frac{m.n.c^{2}}{2(m^{2}+n^{2})}.\frac{1}{2}\sqrt{4b^{2}-c^{2}}=\frac{m.n.c^{2}\sqrt{4b^{2}-c^{2}}}{12(m^{2}+n^{2})}[/tex]