Прав кръгов конус

[Гост]

Височината на конус с обем V е разделена на три равни части и през точките на деление са прекарани равнини, успоредни на основата. Намерете обема на средната част на конуса.

[S.B.]

Височината на конус с обем V е разделена на три равни части и през точките на деление са прекарани равнини, успоредни на основата. Намерете обема на средната част на конуса.

Без заглавие - 2022-03-15T092446.433.png (219.08 KiB) Прегледано 393 пъти

Нека конусът има височина $h$ и радиус на основата $r$
[tex]\Rightarrow V = \frac{ \pi r^{2 } .h}{3}[/tex]
Средната част е пресечен конус с височина [tex]h_{1 } = \frac{h}{3}[/tex] , радиус на долната основа [tex]r_{1 } = \frac{2r}{3}[/tex] и радиус на горната основа [tex]r_{2 } = \frac{r}{3}[/tex]
(Намират се чрез подобни триъгълници)
[tex]V_{ A_{1 } B_{1 } B_{2 } A_{2 } } = \frac{ \pi h_{1 } }{3}( r_{1 } ^{2 } + r_{2 } ^{2 } + r_{1 } r_{2 } ) =[/tex]

[tex]= \frac{ \pi }{3} \frac{h}{3} ( \frac{ r^{2 } }{9} + \frac{4 r^{2 } }{9} + \frac{r}{3}. \frac{2r}{3} ) =[/tex]

[tex]= \frac{ \pi }{3} \frac{h}{3} . \frac{7 r^{2 } }{9} = \frac{7}{27}. \frac{ \pi r^{2 }h }{3} = \frac{7}{27}V[/tex]

[KOPMOPAH]

Може да се разсъждава и така - обемите на подобните тела се отнасят както третите степени на съответните им линейни елементи. Ще използвам чудесния чертеж на колегата S.B.

Имаме три подобни конуса - най-големия с диаметър на основата $AB$, среден с диаметър на основата $A_1B_1$ и малък с диаметър на основата $A_2B_2$. Височините им, според условието на задачата, се отнасят както $3:2:1$, следователно обемите им се отнасят както $27:8:1$. Обемът на най-малкия конус е $\frac {V}{27}$, а на средния - $8\frac {V}{27}$. Обемът на пресечения конус е равен на разликата $8\frac {V}{27}-\frac {V}{27}=7\frac {V}{27}$.