Задача_ права и равнина

[Гост]

Може ли помощ за следната задача за 10 клас? Благодаря!

[Hephaestus]

SegmentIntersectingPlane.png (18.84 KiB) Прегледано 334 пъти

Разстоянията от краищата на една отсечка до дадена равнина са перпендикулярите, спуснати от тези краища, към равнината.

Нека дадената отсечка е [tex]MN[/tex], а равнината [tex]-[/tex] [tex]\alpha[/tex]. Означаваме средата на [tex]MN[/tex] с [tex]Q[/tex].
Търсим разстоянието от точка [tex]Q[/tex] до равнината [tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow QF \bot \alpha, \hspace{0.1cm} QF = \hspace{0.1cm}?[/tex]

По условие отсечката пресича равнината, а разстоянията от краищата ѝ до равнината са съответно [tex]10[/tex] и [tex]4 \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow MH \bot \alpha, \hspace{0.1cm} MH = 10\hspace{0.1cm}[/tex] и [tex]\hspace{0.1cm}NK \bot \alpha, \hspace{0.1cm}NK = 4[/tex]

Продължаваме [tex]MH[/tex] до точката [tex]L[/tex] така, че [tex]HL[/tex] е успоредна и равна на [tex]NK[/tex] [tex](HL \parallel NK,\hspace{0.1cm} HL = NK)[/tex]
Тогава [tex]NL \parallel \alpha[/tex], а за [tex]ML[/tex] имаме [tex]ML = MH + HL = 10 + 4 = 14[/tex]

През т. [tex]Q[/tex] построяваме отсечка [tex]QP[/tex] [tex]\hspace{0.1cm} (P \in ML)[/tex], която е успоредна на [tex]NL \hspace{0.1cm} (QP \parallel NL)[/tex]. Тогава [tex]QP \parallel \alpha[/tex]. Тъй като [tex]Q[/tex] е среда на [tex]MN[/tex] и по построение [tex]QP \parallel NL[/tex], то [tex]QP[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle MLN[/tex]. Следователно точка [tex]P[/tex] е среда на [tex]ML[/tex], откъдето [tex]MP = PL = \frac{ML}{2} = 7[/tex]

От [tex]QP \parallel \alpha \Rightarrow QP \parallel HF[/tex] и понеже [tex]PH \bot \alpha, \hspace{0.1cm} QF \bot \alpha[/tex], то тогава търсеното разстояние [tex]QF[/tex] ще бъде равно на [tex]PH[/tex].
Следователно [tex]QF = PH = MH - MP = 10 - 7 = 3 \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} \boxed{QF = 3}[/tex]