Стереометрия

[Гост]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида с околен ръб 10см, сключващ 60° с основата. На колко е равно лицето на повърхнината на описаната сфера?

[mail_dinko]

[tex]ABCDM[/tex] - като точка М е върхът.
Ъгъл между околен ръб и диагонал на основата квадрат - 60 градуса по усл. Околен ръб l=10.
Построяваме височината [tex]MO \bot ABCD : AO=BO=CO=DO = \frac {d}{2}[/tex]
В квадрат имаме [tex]d^2 = 2a^2 \Rightarrow a = \frac {d}{\sqrt {2}}[/tex]
[tex]\triangle AOM : \angle O = 90^\circ ; \angle OAM = 60^\circ[/tex]
[tex]OA= \frac {d}{2} = \frac {l}{2}=5[/tex] (катет срещу ъгъл 30 градуса)
[tex]d=10; a = \frac {10\sqrt {2}}{2} = 5 \sqrt {2}[/tex]
[tex]sin 60^\circ = \frac {MO}{l} \Leftrightarrow \frac {\sqrt {3}}{2} = \frac {OM}{10} \Rightarrow OM = 5 \sqrt {3}[/tex]
[tex]R = \frac {l^2}{2h} = \frac {100}{10 \sqrt {3}} = \frac {10}{\sqrt {3}}[/tex]
[tex]S= 4 \pi R^2 = \frac {400 \pi}{3}[/tex]

[Гост]

Не разбирам как получаваме радиуса /това накрая/?

[mail_dinko]

Фирмулата за радиуса я намерих в интернет. От сайта Солема. Там има сбита информация. И заместих само.

[S.B.]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида с околен ръб 10см, сключващ 60° с основата. На колко е равно лицето на повърхнината на описаната сфера?

Без заглавие - 2022-03-29T212624.562.png (520.41 KiB) Прегледано 310 пъти

Друг поглед върху задачата:

В основата [tex]AC \cap BD = H , HM = h[/tex]
Построяваш сечение по диагонала на основата $AC$ и височината $MH$
[tex]\triangle ACM[/tex] е вписан в голямата окръжност на описаната около пирамидата сфера.
[tex]MM_{1 }[/tex] е диаметър [tex]\Rightarrow \triangle MC M_{1 }[/tex] е правоъгълен.
[tex]HC \bot M M_{1 } \Rightarrow HC^{2 } = HM.H M_{1 } \Leftrightarrow HC^{2 }= h.(2R - h)[/tex] (от метричните свойства в правоъгълен триъгълник)
От правоъгълния [tex]\triangle HMC \rightarrow[/tex]

[tex]\frac{HM}{CM} = \sin 60 ^\circ \Leftrightarrow h = 10. \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow h = 5 \sqrt{3}[/tex]

[tex]\frac{HC}{MC} = \cos 60 ^\circ \Leftrightarrow HC = 10. \frac{1}{2} \Rightarrow HC = 5[/tex]

Тогава :
[tex]HC^{2 } = h(2R - h) \Leftrightarrow 5^{2 } = 5 \sqrt{3}(2R - 5 \sqrt{3}) \Leftrightarrow 20 = 2R \sqrt{3} \Rightarrow R = \frac{10 \sqrt{3} }{3}[/tex]

[tex]S_{сферата } = 4 \pi R^{2 } \Leftrightarrow S_{сферата } = \frac{ 400\pi }{3}[/tex]