Триъгълна пирамида с основа равностранен триъгълник

[Гост]

Дадено е триъгълна пирамида, чията основа е равностранене триъгълник със страна 7 см. Двата околни ръба са равни на 7 см, а третият е равен на 10 см. Как да намеря обема или по-точно как да намеря на колко е равна височината?
Проекцията на върха лежи ли на височината в основата и ако да как да го докажа?

[ammornil]

Screenshot 2022-04-16 124445.png (137.54 KiB) Прегледано 424 пъти

[S.B.]

Дадено е триъгълна пирамида, чията основа е равностранене триъгълник със страна 7 см. Двата околни ръба са равни на 7 см, а третият е равен на 10 см. Как да намеря обема или по-точно как да намеря на колко е равна височината?
Проекцията на върха лежи ли на височината в основата и ако да как да го докажа?

Без заглавие - 2022-04-17T161511.061.png (389.37 KiB) Прегледано 401 пъти

Още един поглед върху задачата

[tex]\triangle ABM \cong \triangle ACM[/tex] (по три страни) [tex]\Rightarrow \angle BAM = \angle CAM[/tex]
Тогава за тристенния ъгъл $ABMC$ получаваме,че [tex]\angle BAM = \angle CAM \Rightarrow AM[/tex] ще се проектира върху ъглополовящата на [tex]\angle BAC[/tex],която съвпада с височината през върха $A$ на [tex]\triangle ABC[/tex] или простичко казано върхът $M$ се проектира в точка $H$ въrху височината $AN$.
Построявам сечението $ANM$ по височината $AM$ и околният ръб $AM$
От равностранните триъгълници [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle BCM[/tex] получавам съответно [tex]AN = \frac{7 \sqrt{3} }{2}[/tex] и [tex]MN = \frac{7 \sqrt{3} }{2}[/tex]
За [tex]\triangle ANM[/tex]:
[tex]MH \bot AN , AM = 10 ,NM = \frac{7 \sqrt{3} }{2} ,AH = x ,HN = \frac{7 \sqrt{3} }{2} - x[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} MH^{2 } = 10^{2 } - x^{2 } \\ MH^{2 } = ( \displaystyle\frac{7 \sqrt{3} }{2}) ^{2 } - ( \displaystyle\frac{7 \sqrt{3} }{2} - x) ^{2 } \end{array} \Rightarrow 100 - x^{2 } = (\displaystyle \frac{7 \sqrt{3} }{2} - \displaystyle \frac{7 \sqrt{3} }{2} + x)(\displaystyle \frac{7 \sqrt{3} }{2} + \displaystyle \frac{7 \sqrt{3} }{2} - x) \Rightarrow x = \frac{100 \sqrt{3} }{21}[/tex]

[tex]MH = \frac{10 \sqrt{141} }{21}[/tex]

[tex]V_{ABCM } = \frac{1}{3}. \frac{ 7^{2 } \sqrt{3} }{4}. \frac{10 \sqrt{141} }{21} = ...[/tex]