Тетраедър

[Гост]

Докажете, че лицето на коя да е стена на тетраедър е по-малко от сумата на лицaта на останалите три стени.

[ptj]

Нека пирамидата е ABCM, a MH е височина в пирамидата. Да разгледаме 3-те пирамиди АBHM, BCHM и CAHM.

[tex]S_{ABC}\le S_{ABH}+S_{BCH}+S_{CAH}[/tex] (равенство при М вътрешна за ABC).

Достатъчно е да се докаже:

1.)[tex]S_{ABM}>S_{ABH}[/tex]

2.)[tex]S_{BCM}>S_{BCH}[/tex]


3.)[tex]S_{CAM}>S_{CAH}[/tex]

Да разгледаме първото :

Апотемата [tex]МP[/tex] има ортогонална проекция [tex]HP[/tex] в равнината [tex](АBC)[/tex], а от теоремата за трите перпендикуляра [tex]\Rightarrow HP \bot AB[/tex].

Освен това [tex]MP>HP \Leftrightarrow MP.AB>HP.AB \Leftrightarrow S_{ABM}>S_{ABH}[/tex] (проекцията е по-къса от първообраза)

2.) и 3.) са аналогични на 1.)