Стереометрия помощщ

[Гост]

Здравейте, може ли помощ с тази задача: Около основата A1A2...An на пирамидата A1A2...AnV е описана окръжност с радиус [tex]\sqrt{21}[/tex]. Околната стена A1A2V сключва с основата ъгъл с големина 60[tex]^\circ[/tex]. Ако A1A2=4[tex]\sqrt{3}[/tex] и ъгъл A1VA2 е 60[tex]^\circ[/tex], да се намери радиусът на описаната сфера около пирамидата. Дори не знам от къде да започна

[nikola.topalov]

geogebra-export (37).png (73.72 KiB) Прегледано 260 пъти

Нека точка [tex]O[/tex] е центъра на описаната около основата окръжност. Построяваме [tex]OM\perp A_1 A_2[/tex] ([tex]M\in A_1A_2[/tex]). Ако центърът на описана около околната стена [tex]A_1A_2V[/tex] окръжност означим с [tex]Q[/tex], то очевидно [tex]QM\perp A_1A_2[/tex]. И така ъгълът между равнината на основата на пирамидата и равнината [tex](A_1A_2V)[/tex] е [tex]\angle OMQ=60^\circ[/tex]. Прилагаме синусова теорема за [tex]\triangle A_1A_2V[/tex], откъдето [tex]A_2Q=4[/tex]. От правоъгълните [tex]\triangle MA_2Q[/tex] и [tex]\triangle OA_2M[/tex] намираме съответно [tex]QM=2[/tex] и [tex]OM=3[/tex]. През точка [tex]Q[/tex] построяваме права, перпендикулярна на околната стена [tex]A_1A_2V[/tex], която пресича права, минаваща през точка [tex]O[/tex] и перпендикулярна на равнината на основата. Пресечната точка [tex]Z[/tex] на двете прави е центърът на описаната около пирамидата сфера. Пресмятаме [tex]OQ=\sqrt{7}[/tex] с косинусова теорема за [tex]\triangle OMQ[/tex]. От [tex]\angle ZQM=\angle ZOM=90^\circ[/tex] пък имаме, че четириъгълникът [tex]OMQZ[/tex] е вписан и диагонала му [tex]ZM[/tex] е равен на диаметъра на описаната около него окръжност. Със синусова теорема за [tex]\triangle OMQ[/tex] откриваме [tex]ZM=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}[/tex]. Понеже правата [tex]ZM[/tex] се проектира в [tex]OM[/tex] и [tex]OM\perp A_1A_2[/tex], то по теоремата за трите перпендикуляра [tex]ZM\perp A_1A_2[/tex]. Радиусът на описаната около пирамидата сфера е равен на дължината на отсечката [tex]ZA_2[/tex], която можем да пресметнем с питагорова теорема за правоъгълния [tex]\triangle ZMA_2[/tex]. И така [tex]ZA_2=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}[/tex].