Разстояние между кръстосани прави в куб

[Гост]

В куб ABCDA1B1C1D1 с ръб 6 точката M е медицентър на триъгълник ABD и точката N е медицентър на триъгълник BCC1. Трябва да намерим разстоянието между MN и AD.

[ptj]

https://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=5783

Остава само да приложиш идеята.

[Гост]

Ej ptj po-dobre nishto da ne kazesh otkolkoto takova napolovina i chuzdo...

[Гост]

Ej ptj po-dobre nishto da ne kazesh otkolkoto takova napolovina i chuzdo...

nikola, ti nedej da sa kriish zad moja nachin na pisane...

[KOPMOPAH]

Получих $\frac {2\sqrt 5}5$.

[KOPMOPAH]

Разстояние между прави-2.png (27.62 KiB) Прегледано 817 пъти

Разстоянието между правите $MN$ и $AD$ е равно на разстоянието между $AD$ и равнина, успоредна на нея и съдържаща $MN$. Тази въпросна равнина, бидейки успоредна на $AD$ трябва да пресече равнината $(ABCD)$ в права, успоредна на $AD$. На чертежа това е $GH$, която съвсем логично минава през т.$M$. Аналогично $IJ || AD$, минавайки през т.$N$.

За да има разстояние, трябва да има перпендикуляр. В случая е удобно да се използва равнината $(ABB_1A_1)$, защото тя е перпендикулярна и на $AD$, и на $(GJIH)$.

От това, че т.$M$ е медицентър, лесно можем да получим, че $AG=2$ и $GB=4$, след като целият ръб е $6$. Аналогично $BJ=2$. От подобието на $\triangle AGK$ и $\triangle BGJ$ получаваме $AK=1$. Тогава хипотенузата $KG$ на правоъгълния $\triangle AGK$ е $KG=\sqrt{4+1}=\sqrt 5$, а височината към нея $AL=\frac {AK.AG}{KG}=\frac {1.2}{\sqrt 5}=\frac {2\sqrt 5}5$. Това е и търсеното разстояние между правите.

[S.B.]

В куб ABCDA1B1C1D1 с ръб 6 точката M е медицентър на триъгълник ABD и точката N е медицентър на триъгълник BCC1. Трябва да намерим разстоянието между MN и AD.

Решението,което колегата KOPMOPAH е предложил е интересно и аз го поздрявлявам за това!
Аз ще използвам една теорема,от доказателството на която следва начинът за построяване на най - късото разстояние между две кръстосани прави.

ТЕОРЕМА: Съществува права и при това само една,която пресича две дадени кръстосани прави под прави ъгли.Отсечката от тази права ,заключена между пресечните точки ,е най-късото разстояние МЕЖДУ ТОЧКИТЕ ЛЕЖАЩИ на двете прави.
Тази отсечка се нарича най-късо разстояние между две кръстосани прави,а правата за която става дума - общ перпендикуляр (ос) на двете кръстосани прави
Курс по елементарна геометрия II част,Д.И.Перепьолкин,изд. "Наука и изкуство",София 1965 г. стр.60,61

Без заглавие - 2022-10-15T152419.070.png (290.78 KiB) Прегледано 796 пъти

[tex]AD \bot DC, AD \bot D D_{1 } \Rightarrow AD \bot (DC C_{1 } D_{1 })[/tex]
Построявам проекцията на $MN$ - [tex]M_{1 } N_{1 }[/tex]върху равнината [tex](DCC_{1 } D_{1 })[/tex]
Построявам правата $l$,която е търсената ос - отсечка на двете кръстосани прави $AD$ и $MN$- $l :$[tex]\begin{cases} Z т.D \\ \bot M_{1 } N_{1 }\\ \cap M_{1 } N_{1 } = S \end{cases}[/tex].
[tex]SD\bot M_{1 } N_{1 }[/tex] по построение,[tex]M_{1 } N_{1 }[/tex] е проекция на [tex]MN \Rightarrow SD \bot MN[/tex]
[tex]SD \in (DC C_{1 } D_{1 }) , AD \bot (DC C_{1 } D_{1 }) \Rightarrow AD \bot SD[/tex]
Според доказателството на цитираната теорема $SD$ е най-късото разстояние между точките принадлежащи на правите $AD$ и $MN$

Скрит текст: покажи

Считам,че самото доказателство не е нужно да цитирам,а който се интересува ,може да го прочете в посочения учебник на посочената страница

Без заглавие - 2022-10-16T161857.224.png (273.61 KiB) Прегледано 796 пъти

От [tex]\triangle ABD : AB = 6 ,BD = 6 \sqrt{2} ,AO = \frac{6 \sqrt{2} }{2} = 3 \sqrt{2} \Rightarrow AM = \frac{2}{3}.3 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}[/tex]
От [tex]\triangle APM : AM = 2 \sqrt{2} \Rightarrow PM = 2 \Rightarrow D M_{1 } = 2[/tex]
От [tex]\triangle BC C_{1 }[/tex] аналогично се поучава [tex]CN_{1 } = 2[/tex]
В равнината [tex]DC C_{1 } D_{1 } :[/tex]
[tex]\triangle DS M_{1 } \approx \triangle M_{1 }C N_{1 }[/tex]
[tex]\frac{SD}{C N_{1 } } = \frac{D M_{1 } }{ M_{1 } N_{1 } } \Leftrightarrow \frac{SD}{2} = \frac{2}{2 \sqrt{5} } \Leftrightarrow \frac{SD}{2} = \frac{1}{ \sqrt{5} } \Rightarrow SD = \frac{2 \sqrt{5} }{5}[/tex]