Двустенен ъгъл

[Гост]

Дадена е пирамида АВСМ, основата на която е правоъгълният триъгълник ABC. ACB = 90° и <ВАС = х. Околните ръбове са равни на b и сключват с равнината на основата ъгъл 60. Да се намери обемът и ъгълът, който околната стена (АСМ) сключва с равнината на основата.

[S.B.]

Дадена е пирамида АВСМ, основата на която е правоъгълният триъгълник ABC. ACB = 90° и <ВАС = х. Околните ръбове са равни на b и сключват с равнината на основата ъгъл 60. Да се намери обемът и ъгълът, който околната стена (АСМ) сключва с равнината на основата.

Без заглавие - 2022-12-09T151525.982.png (235.57 KiB) Прегледано 314 пъти

Околните ръбове на пирамидата $ABCM$са равни [tex]\Rightarrow[/tex] върхът $M$ се проектира върху центърът на описаната около основата окръжност $H$,като [tex]H \in AB,AH = HB , HM[/tex] е височина на пирамидата.
[tex]\triangle ABM[/tex] е равностранен ([tex]AM = MB = b, \angle HBM = 60 ^\circ) \Rightarrow AB = b ,MH = \frac{b \sqrt{3} }{2}[/tex]
От [tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]\frac{BC}{AB} = \sin \angle CAB \Leftrightarrow BC = b.\sin x[/tex]

[tex]\frac{AC}{AB} = \cos \angle CAB \Leftrightarrow AC = b \cos x[/tex]

[tex]V_{ABCM } = \frac{1}{3}.MH. S_{ABC } = \frac{1}{3} \frac{b \sqrt{3} }{2} \frac{b\sin x.b \cos x}{2}[/tex]
$$\Rightarrow V_{ABCM } = \frac{ b^{3 } \sqrt{3} }{24} \sin 2x$$

[tex]MK \bot AC,HK \bot AC[/tex]
[tex]\triangle ACM[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow MK[/tex] е симетрала на $AC$,а $H$ е център на описаната окръжност [tex]\Rightarrow HK[/tex]също е симетрала на $AC$
[tex]\angle MKH[/tex] е търсения двустенен ъгъл

От [tex]\triangle AHK[/tex],който е правоъгълен намираме:
[tex]\frac{KH}{AH} = \sin x \Rightarrow KH = \frac{b}{2}\sin x[/tex]
От [tex]\triangle MKH[/tex] намираме [tex]\tg \angle MKH = \displaystyle\frac{MH}{KH} \Leftrightarrow \tg \angle MKH = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{b \sqrt{3} }{2} }{\displaystyle \frac{b \sin x}{2} }[/tex]
$$\Rightarrow \tg \angle MKH = \frac{ \sqrt{3} }{\sin x} $$