Комбинация от ротационни тела

[Гост]

Тъпоъгълен триъгълник ABC с тъп ъгъл при връх A е завъртян около права m, лежаща в равнината на триъгълника, минаваща през точка C и перпендикулярна на AB. Ако AC=5 cm, BC=6 cm и [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex], намерете обема и повърхнината на полученото тяло.

[ammornil]

Тъпоъгълен триъгълник ABC с тъп ъгъл при връх A е завъртян около права m, лежаща в равнината на триъгълника, минаваща през точка C и перпендикулярна на AB. Ако AC=5 cm, BC=6 cm и [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex], намерете обема и повърхнината на полученото тяло.

230101_002.png (33.73 KiB) Прегледано 352 пъти

[tex][/tex]
Нека пресечната точка на ротационната ос с продължението на [tex]AB[/tex] да е точка [tex]C_{1}[/tex]. По условие точките [tex]A, B, C \text{ и } C_{1}[/tex] лежат в една равнина.

Тялото представлява голям кръгов конус в който е издълбан малък кръгов конус. Двата конуса имат за основи концентрични окръжности с център точката [tex]C_{1}[/tex].
Радиусът на основата на големия кръгов конус е [tex]C_{1}B=BC.\cos{\beta} ( \triangle CC_{1}B \text{ е правоъгълен по построение})[/tex]
[tex]\Rightarrow C_{1}B=6\cos{\beta}[/tex]. Аналогично [tex]CC_{1}=6\sin{\beta}.[/tex]

[tex]\triangle CC_{1}A \text{ е правоъгълен по построение} \Rightarrow AC_{1}^{2}+CC_{1}^{2}=AC^{2} \Leftrightarrow AC_{1}^{2}=AC^{2}-CC_{1}^{2}=25-36\sin^{2}{\beta}[/tex]
*можем да определим ограничение за големината на [tex]\beta[/tex] от неравенството [tex]25-36\sin^{2}{\beta}>0 \Rightarrow \sin^{2}{\beta}-\frac{25}{36} < 0 \Leftrightarrow \left(\sin{\beta}-\frac{5}{6}\right)\left(\sin{\beta}+\frac{5}{6}\right)<0 \Rightarrow \sin{\beta} \in \left(-\frac{5}{6} ; \frac{5}{6}\right)[/tex].
Понеже [tex]\beta < \frac{\pi}{2}rad (\text{ остър ъгъл в тъпоъгълен триъгълник }) \Rightarrow \sin{\beta}>0[/tex], откъдето окончателно получаваме, че [tex]\sin{\beta} \in \left(0 ; \frac{5}{6}\right)[/tex]

Лицето на основата на външния прав кръгов конус е: [tex]B_{1}=C_{1}B^{2}.\pi=36\pi\cos^{2}{\beta}[/tex]
Лицето на основата на вътрешния прав кръгов конус е: [tex]B_{2}=C_{1}A^{2}.\pi=(25-36\sin^{2}{\beta})\pi=25\pi-36\pi\sin^{2}{\beta}[/tex]

Обемът на тялото е разликата от обемите на двата конуса: [tex]V=\frac{1}{3}B_{1}.CC_{1}-\frac{1}{3}B_{2}.CC_{1}=\frac{1}{3}.CC_{1}(B_{1}-B_{2})[/tex]

[tex]V=\frac{1}{3}.6.\sin{\beta}.(36\pi\cos^{2}{\beta}-25\pi+36\pi\sin^{2}{\beta})=2\sin{\beta}[36\pi(\underbrace{\cos^{2}{\beta}+\sin^{2}{\beta}}_{=1})-25\pi]=2\sin{\beta}(36\pi-25\pi)=22\pi\sin{\beta}[/tex]

Повърхнината на полученото тяло е равна на пълната повърхнина на външния конус плс околната повърхнина на вътрешния конус минус лицето на основата на вътрешния конус.

[tex]S_{1e}=B_{1}+\pi.C_{1}B.BC+\pi.C_{1}A.AC-B_{2}=36\pi\cos^{2}{\beta}+\pi.6\cos{\beta}.6+\pi.\sqrt{25\pi-36\pi\sin^{2}{\beta}}.5-(25\pi-36\pi\sin^{2}{\beta})[/tex]
[tex]S_{1e}=36\pi\cos^{2}{\beta}+36\pi\cos{\beta}+5\pi.\sqrt{25\pi-36\pi\sin^{2}{\beta}}-25\pi+36\pi\sin^{2}{\beta}=36\pi(\underbrace{\cos^{2}{\beta}+\sin^{2}{\beta}}_{=1})-25\pi+36\pi\cos{\beta}+5\pi.\sqrt{25\pi-36\pi\sin^{2}{\beta}}[/tex]
[tex]S_{1e}=11\pi+36\pi\cos{\beta}+5\pi.\sqrt{25\pi-36\pi\sin^{2}{\beta}}[/tex]

[mail_dinko]

Мисля, че не трябва да има [tex]\pi[/tex] под последния радикал

[tex]S_{1e}=11\pi+36\pi\cos{\beta}+5\pi.\sqrt{25\pi-36\pi\sin^{2}{\beta}}[/tex]

[tex]S_{1e}=11\pi+36\pi\cos{\beta}+5\pi.\sqrt{25-36\sin^{2}{\beta}}[/tex]

[Гост]

Тъпоъгълен триъгълник ABC с тъп ъгъл при връх A е завъртян около права m, лежаща в равнината на триъгълника, минаваща през точка C и перпендикулярна на AB. Ако AC=5 cm, BC=6 cm и [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex], намерете обема и повърхнината на полученото тяло.

230101_002.png

[tex][/tex]
Нека пресечната точка на ротационната ос с продължението на [tex]AB[/tex] да е точка [tex]C_{1}[/tex]. По условие точките [tex]A, B, C \text{ и } C_{1}[/tex] лежат в една равнина.

Тялото представлява голям кръгов конус в който е издълбан малък кръгов конус. Двата конуса имат за основи концентрични окръжности с център точката [tex]C_{1}[/tex].
Радиусът на основата на големия кръгов конус е [tex]C_{1}B=BC.\cos{\beta} ( \triangle CC_{1}B \text{ е правоъгълен по построение})[/tex]
[tex]\Rightarrow C_{1}B=6\cos{\beta}[/tex]. Аналогично [tex]CC_{1}=6\sin{\beta}.[/tex]

[tex]\triangle CC_{1}A \text{ е правоъгълен по построение} \Rightarrow AC_{1}^{2}+CC_{1}^{2}=AC^{2} \Leftrightarrow AC_{1}^{2}=AC^{2}-CC_{1}^{2}=25-36\sin^{2}{\beta}[/tex]
*можем да определим ограничение за големината на [tex]\beta[/tex] от неравенството [tex]25-36\sin^{2}{\beta}>0 \Rightarrow \sin^{2}{\beta}-\frac{25}{36} < 0 \Leftrightarrow \left(\sin{\beta}-\frac{5}{6}\right)\left(\sin{\beta}+\frac{5}{6}\right)<0 \Rightarrow \sin{\beta} \in \left(-\frac{5}{6} ; \frac{5}{6}\right)[/tex].
Понеже [tex]\beta < \frac{\pi}{2}rad (\text{ остър ъгъл в тъпоъгълен триъгълник }) \Rightarrow \sin{\beta}>0[/tex], откъдето окончателно получаваме, че [tex]\sin{\beta} \in \left(0 ; \frac{5}{6}\right)[/tex]

Лицето на основата на външния прав кръгов конус е: [tex]B_{1}=C_{1}B^{2}.\pi=36\pi\cos^{2}{\beta}[/tex]
Лицето на основата на вътрешния прав кръгов конус е: [tex]B_{2}=C_{1}A^{2}.\pi=(25-36\sin^{2}{\beta})\pi=25\pi-36\pi\sin^{2}{\beta}[/tex]

Обемът на тялото е разликата от обемите на двата конуса: [tex]V=\frac{1}{3}B_{1}.CC_{1}-\frac{1}{3}B_{2}.CC_{1}=\frac{1}{3}.CC_{1}(B_{1}-B_{2})[/tex]

[tex]V=\frac{1}{3}.6.\sin{\beta}.(36\pi\cos^{2}{\beta}-25\pi+36\pi\sin^{2}{\beta})=2\sin{\beta}[36\pi(\underbrace{\cos^{2}{\beta}+\sin^{2}{\beta}}_{=1})-25\pi]=2\sin{\beta}(36\pi-25\pi)=22\pi\sin{\beta}[/tex]

Повърхнината на полученото тяло е равна на пълната повърхнина на външния конус плс околната повърхнина на вътрешния конус минус лицето на основата на вътрешния конус.

[tex]S_{1e}=B_{1}+\pi.C_{1}B.BC+\pi.C_{1}A.AC-B_{2}=36\pi\cos^{2}{\beta}+\pi.6\cos{\beta}.6+\pi.\sqrt{25\pi-36\pi\sin^{2}{\beta}}.5-(25\pi-36\pi\sin^{2}{\beta})[/tex]
[tex]S_{1e}=36\pi\cos^{2}{\beta}+36\pi\cos{\beta}+5\pi.\sqrt{25\pi-36\pi\sin^{2}{\beta}}-25\pi+36\pi\sin^{2}{\beta}=36\pi(\underbrace{\cos^{2}{\beta}+\sin^{2}{\beta}}_{=1})-25\pi+36\pi\cos{\beta}+5\pi.\sqrt{25\pi-36\pi\sin^{2}{\beta}}[/tex]
[tex]S_{1e}=11\pi+36\pi\cos{\beta}+5\pi.\sqrt{25\pi-36\pi\sin^{2}{\beta}}[/tex]

Благодаря за подробното решение! Разбрах къде ми е грешката. Може ли да попитам с коя програма е направен чертежът?

[ammornil]

Програмата се нарича CarMetal и се предлага безплатно тук

[ammornil]

Мисля, че не трябва да има [tex]\pi[/tex] под последния радикал

[tex]S_{1e}=11\pi+36\pi\cos{\beta}+5\pi.\sqrt{25\pi-36\pi\sin^{2}{\beta}}[/tex]

[tex]S_{1e}=11\pi+36\pi\cos{\beta}+5\pi.\sqrt{25-36\sin^{2}{\beta}}[/tex]

Абсолютно вярно. Аргументът е дясната страна на равенство от Питагорова теорема, не лице на окръжност. Благодаря Ви за корекцията.