Описана и вписана сфера в пирамида

[Гост]

Основата на триъгълна пирамида АВСМ е равностранен ∆АВС. Стената МАС е перпендикулярна на равнината (АВС) и МА= МС = АС. Радиусът на описаната сфера около пирамидата е [tex]\frac{ \sqrt{15} }{5}[/tex]. Да се намери радиусът на вписаната сфера в пирамидата.

[S.B.]

Основата на триъгълна пирамида АВСМ е равностранен ∆АВС. Стената МАС е перпендикулярна на равнината (АВС) и МА= МС = АС. Радиусът на описаната сфера около пирамидата е [tex]\frac{ \sqrt{15} }{5}[/tex]. Да се намери радиусът на вписаната сфера в пирамидата.

Без заглавие - 2023-01-05T153226.577.png (414.06 KiB) Прегледано 533 пъти

[tex]\triangle ABC \cong ACM[/tex]
Нека основният ръб на пирамидата е $a$
[tex]BN \bot AC , MN \bot AC \Rightarrow BN = MN = \frac{a \sqrt{3} }{2}[/tex]
По правило центърът на описана около пирамида сфера съвпада с пресечната точка на перпендикулярите издигнати от центровете на описаните около стените на пирамидта окръжности.
Разглеждам сечението $(BNM)$ на вписаната в сфера пирамида.
Около стената $ABC$ е описана окръжност [tex]k_{1 }( O_{1 } ; r_{1 } = \frac{a \sqrt{3} }{3})[/tex] (равностранен триъгълник,медицентъра и центъра на описаната окръжност съвпадат)
Около стената $AMC$ е описана окръжност [tex]k_{2 }( O_{2 } ; r_{2 } = \frac{a \sqrt{3} }{3})[/tex] (аналогично)
Построявам :[tex]d_{1 } \begin{cases} z O_{1 } \\ \bot (ABC)\end{cases} , d_{2 } \begin{cases}z O_{2 } \\ \bot (ACM)\end{cases}[/tex]
[tex]d_{1 } \cap d_{2 } = O[/tex],където $O$ е център на описаната сфера.
За [tex]\triangle O_{1 }OB[/tex] прилагам Питагорова теорема :
[tex]OB^{2 } = O O_{1 } ^{2 } + O_{1 }B ^{2 } \Leftrightarrow ( \frac{ \sqrt{15} }{5}) ^{2 } = ( \frac{a \sqrt{3} }{6}) ^{2 } + ( \frac{a \sqrt{3} }{3} )^{2 } \Rightarrow a = \frac{6}{5}[/tex]
[tex]MN = NB = a \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{6}{5}. \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{3 \sqrt{3} }{5}[/tex]
[tex]\triangle BNM[/tex] е равнобедрен,правоъгълен , [tex]\angle NMB = 45 ^\circ \Rightarrow \displaystyle \frac{NB}{MB} = \sin 45 ^\circ \Rightarrow MB = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3 \sqrt{3} }{5} }{\displaystyle \frac{ \sqrt{2} }{2} } \Rightarrow MB = \displaystyle \frac{3 \sqrt{6} }{5}[/tex]
[tex]P_{MNB } = NM + NB + BM = 2. \frac{3 \sqrt{3} }{5} + \frac{3 \sqrt{6} }{5} \Rightarrow P_{MNB } = \frac{6 \sqrt{3} + 3 \sqrt{6} }{5}[/tex]
Нека вписаната сфера има радиус $r$ и се допира до страните на сечението (MNB) на пирамидата в точки $P,Q,T$

[tex]P_{MNB } = 2r + 2MB \Leftrightarrow \frac{6 \sqrt{3} + 3 \sqrt{6} }{5} = 2r + \frac{6 \sqrt{6} }{5} \Leftrightarrow 2r = \frac{6 \sqrt{3} + 3 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} }{5} = \frac{6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{6} }{5}[/tex]
$$\Rightarrow r = \frac{3 \sqrt{3} }{10}(2 - \sqrt{2} )$$

Скрит текст: покажи

Дано не съм оплела някъде сметките!