Екстремална задача

[Гост]

Четирите стени на тетраедър са равнобедрени триъгълници с дължини на основата a и дължини на бедрата b. Изразете обема на пирамидата и намерете при фиксирано b онази стойност на a, за която този обем е максимален.

[Гост]

Няма такъв тетраедър. Виж си условието.

[ammornil]

Както колегата е посочил по-горе, тетраедърът може да има четири еднакви стени, но те ще са равностранни триъгълници, или три еднакви околни стени, които да са равнобедрени триъгълници и основа равностранен трииъгълник. Задачата би изглеждала така:

Околните стени на тетраедър са равнобедрени триъгълници с дължини на основата a и дължини на бедрата b. Изразете обема на пирамидата и намерете при фиксирано b онази стойност на a, за която този обем е максимален.

220107_001.png (19.45 KiB) Прегледано 327 пъти

[tex][/tex]
[tex]k^{2}=l^{2}-\frac{a^{2}}{4} \Rightarrow k^{2}=\frac{4b^{2}-a^{2}}{4}, \hspace{2em} H^{2}=k^{2}-\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)^{2} \Rightarrow H^{2}=\frac{4b^{2}-a^{2}}{4}-\frac{3a^{2}}{36} \Leftrightarrow H^{2}=\underbrace{\frac{4b^{2}-a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{12}}_{12} \Leftrightarrow H^{2}=\frac{3b^{2}-a^{2}}{3}[/tex]

[tex]V=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\sqrt{\frac{3b^{2}-a^{2}}{3}}=\frac{a^{2}\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{12}[/tex]

Изследването на тази функция с диференциране има следния ред:
[tex]f(x)=\frac{a^{2}}{12} \hspace{8em} f'(x)=\frac{2a}{12}=\frac{a}{6}[/tex]
[tex]g(x)=\sqrt{3b^{2}-a^{2}} \hspace{5em} g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}(-2a)=-\frac{2a}{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}[/tex]

[tex]V(a)=f(x).g(x) \rightarrow V'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)=\frac{a}{6}.\sqrt{3b^{2}-a^{2}}+\frac{a^{2}}{12}.\left( -\frac{2a}{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}} \right)=\frac{2a(\sqrt{3b^{2}-a^{2}})^{2}-2a^{3}}{12\sqrt{3b^{2}-a^{2}}} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow V'(a)=\frac{6ab^{2}-2a^{3}-2a^{3}}{12\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}=\frac{6ab^{2}-4a^{3}}{12\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}=\frac{3ab^{2}-2a^{3}}{6\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}[/tex]

[tex]V'(a)=0 \Rightarrow 3ab^{2}-2a^{3}=0 \Leftrightarrow 2a\left(\frac{3}{2}b^{2}-a^{2}\right)=0 \rightarrow \begin{cases} a_{1}=0 \notin Da \\ a_{2} = \large{-\frac{\sqrt{6}b}{2}} \notin Da \\ a_{3} = \large{\frac{\sqrt{6}b}{2}} \in Da \end{cases}[/tex]

Screenshot 2023-01-07 220906.png (6.76 KiB) Прегледано 327 пъти

$$ V(a)_{max} =V\left(\frac{\sqrt{6}.b}{2} \right) $$

[S.B.]

Четирите стени на тетраедър са равнобедрени триъгълници с дължини на основата a и дължини на бедрата b. Изразете обема на пирамидата и намерете при фиксирано b онази стойност на a, за която този обем е максимален.

Без заглавие - 2023-01-08T071806.565.png (172.24 KiB) Прегледано 321 пъти

Добро утро на всички,които твърдят,че такъв тетраедер не съществува!

Остава само да се определи при каква зависимост между $a$ и $b$ съществува,да се изрази [tex]V(a) = ...[/tex], а после приятно диференциране!