Задача за ъгли.

[Гост]

Ще съм благодарна,ако някой ми помогне с тази задачка.
Даден е правоъгълен паралелепипед ABCD[tex]A_{1 }[/tex][tex]B_{1 }[/tex][tex]C_{1 }[/tex][tex]D_{1 }[/tex] с ръбове AB = [tex]\sqrt{6}[/tex] cm , AD = [tex]\sqrt{3}[/tex] cm и A[tex]A_{1 }[/tex] = 1cm . Намерете големината на ъгъла между правите:
а) А[tex]А_{1 }[/tex] и C[tex]B_{1 }[/tex];
б) BC и D[tex]A_{1 }[/tex];
в) A[tex]B_{1 }[/tex] и BC;
г) [tex]B_{1 }[/tex][tex]C_{1 }[/tex] и A[tex]D_{1 }[/tex];

[mail_dinko]

Решение:
а) [tex]АА_{1 }[/tex] и [tex]B_{1 }[/tex]
Това е ъгълът между DA1 и AA1
[tex]tg \alpha = \frac {AD}{AA_1} = \sqrt {3} \Rightarrow \alpha = 60^\circ[/tex]
б) BC и D[tex]A_{1 }[/tex]
Това е ъгълът между AD и DA1
[tex]cotg \beta = \frac {AD}{DA_1}= \sqrt {3} \Rightarrow \beta = 30^\circ[/tex]
в) A[tex]B_{1 }[/tex] и BC
Това е ъгълът между AB1 и B1C1
Намираме диагоналът [tex]AC = \sqrt {AB^2+BC^2}= 3[/tex]
Намираме диагоналът [tex]AB_1 = \sqrt {B_1B^2+AB^2}= \sqrt {7}[/tex]
В правоъгълния триъгълник [tex]ACC_1: \angle ACC_1 = 90^\circ[/tex]
[tex]AC_1 = \sqrt {C_1C^2+AC^2}= \sqrt {10}[/tex]
Прилагаме косинусова теорема за [tex]\triangle AC_1B_1[/tex]
[tex]C_1A^2 = B_1A^2+C_1B_1^2 - 2. B_1A.B_1C_1. cos \angle AB_1C_1[/tex]
[tex]10=7+3-2.\sqrt {7}. \sqrt {3} cos \gamma[/tex]
[tex]cos \gamma =0 \Rightarrow \gamma = 90^\circ[/tex]
Това е правоъгълен триъгълник, за който виждаме, че е валидна питагоровата теорема - може и по страните да намерим ъгъла.
г) [tex]B_{1 }[/tex][tex]C_{1 }[/tex] и A[tex]D_{1 }[/tex]
Това е ъгълът между B1C1 и BC_1
[tex]cotg \delta = \frac {BB_1}{B_1C_1}= \frac {1}{\sqrt {3}} = \frac {\sqrt {3}}{3} \Rightarrow \delta = 30 ^\circ[/tex]
Тази подточка може да се реши и с еднакви триъгълници