обем на пирамида

[Гост]

Обемът на пирамида с основа равнобедрен триъгълник със страни 10см, 10см, 12см и всички околни ръбове равни на 9см е:

[peyo]

Обемът на пирамида с основа равнобедрен триъгълник със страни 10см, 10см, 12см и всички околни ръбове равни на 9см е:

Това ще е сложно!

Искаме основата ABC на пирамидата ABCM да лежи в равнината X,Y, така височината на пирамидата ще просто z на върха M.

Да намерим координатите на всички върхове, които ще са:
A e (0,0,0)
B e (10,0,0)
C e (x_c,y_c,0)
M e (x_m,y_m,z_m)

Да напишем малко уравнения, които свързват тези точки.
|AB|=10
|AC|=10
|BC|=12
|AM|=9
|BM|=9
|CM|=9

Да ги разпишем като система:
$(10-0)^2 = 10^2$
$(x_c-0)^2 + (y_c-0)^2 = 10^2$
$(x_c-10)^2 + (y_c-0)^2 = 12^2$
$(x_m-0)^2 + (y_m-0)^2 + (z_m-0)^2= 9^2$
$(x_m-10)^2 + (y_m-0)^2 + (z_m-0)^2= 9^2$
$(x_m-x_c)^2 + (y_m-y_c)^2 + (z_m-0)^2= 9^2$

Или:
var("x_c,y_c,x_m,y_m,z_m")

S = [(x_c)**2 + (y_c)**2 - 10**2,
(x_c-10)**2 + (y_c)**2 - 12**2,
(x_m)**2 + (y_m)**2 + (z_m)**2- 9**2,
(x_m-10)**2 + (y_m)**2 + (z_m)**2- 9**2,
(x_m-x_c)**2 + (y_m-y_c)**2 + (z_m)**2- 9**2]

print(latex(solve(S)))

$\left[ \left\{ x_{c} : \frac{14}{5}, \ x_{m} : 5, \ y_{c} : - \frac{48}{5}, \ y_{m} : - \frac{15}{4}, \ z_{m} : - \frac{\sqrt{671}}{4}\right\}, \ \left\{ x_{c} : \frac{14}{5}, \ x_{m} : 5, \ y_{c} : - \frac{48}{5}, \ y_{m} : - \frac{15}{4}, \ z_{m} : \frac{\sqrt{671}}{4}\right\}, \ \left\{ x_{c} : \frac{14}{5}, \ x_{m} : 5, \ y_{c} : \frac{48}{5}, \ y_{m} : \frac{15}{4}, \ z_{m} : - \frac{\sqrt{671}}{4}\right\}, \ \left\{ x_{c} : \frac{14}{5}, \ x_{m} : 5, \ y_{c} : \frac{48}{5}, \ y_{m} : \frac{15}{4}, \ z_{m} : \frac{\sqrt{671}}{4}\right\}\right]$

И разбира се имаме 4 реални решения, което ако се замислим за около 15 секунди, е съвсем ОК.

Единственото, което ще вземем от тук е $z_{m} : \frac{\sqrt{671}}{4}$, което по странно стеччение на обстоятествата е височината на пирамидата.

И сега според σχολάρχης Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς лицето на основата е:

Код: Избери целия код

def area(a,b,c):
    s = (a+b+c)/2
    return np.sqrt( s*(s-a)*(s-b)*(s-c) )

И тогава крайния отговор е:

In [47]: (1/3)*area(10,10,12)*math.sqrt(671)/4
Out[47]: 103.61467077590895

[S.B.]

Обемът на пирамида с основа равнобедрен триъгълник със страни 10см, 10см, 12см и всички околни ръбове равни на 9см е:

Без заглавие - 2023-04-18T093416.694.png (353.8 KiB) Прегледано 1012 пъти

Още един поглед върху задачата

Щомвсички околни ръбове са равни,върхът $M$ се проектира в т.$O$ която е център на описаната около основата окръжност.Височината на пирамидата се намира в сечението [tex](MC C_{1 })[/tex] построено по околния ръб $CM$ и височината на основата [tex]C C_{1 }[/tex]
Основата на пирамидата [tex]\triangle ABC[/tex]:
За [tex]\triangle AC C_{1 }[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам [tex]CC_{1 } = 8[/tex]
[tex]\frac{C C_{1 } }{AC} = \sin \alpha \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{5}[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{BC}{\sin \alpha } = 2R \Leftrightarrow BC = 2R.\sin \alpha \Leftrightarrow 10 = 2R. \frac{4}{5} \Rightarrow R = \frac{25}{4}[/tex]
За [tex]\triangle OCM[/tex] (в сечението на пирамидата) прилагам Питагорова теорема:
[tex]OM^{2 } = CM^{2 } - R^{2 } \Leftrightarrow OM = \sqrt{ 81 - \frac{625}{16} } \Rightarrow OM = \frac{ \sqrt{671} }{4}[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{12.8}{2} = 48[/tex]
[tex]ABCM_{1 } = \frac{1}{3}.OM. S_{ABC } \Leftrightarrow V_{ABCM } = \frac{1}{3}. \frac{ \sqrt{671} }{4}.48[/tex]
$$\Rightarrow V_{ABCM } = 4 \sqrt{671}$$