Пирамида

[Гост]

20230424_100120.jpg (387.44 KiB) Прегледано 1410 пъти

Може ли малко помощ?

[ammornil]

Screenshot 2023-04-24 132243.png (41.28 KiB) Прегледано 1399 пъти

[tex][/tex]
За правилна четириъгълна пирамида са винаги изпълнени следните условия (именувани по елементите на приложения чертеж):
[tex]ABCD \rightarrow \hspace{2em} \begin{cases} AB=BC=CD=AD \\ \angle{DAB}=\angle{ABC}=\angle{BCD}=\angle{CDA}=90^{\circ} \\ AC=BD=AB\cdot{\sqrt{2}} \\ AC \bot BD \\ AC \cap BD = O \rightarrow AO=BO=CO=DO=\frac{\normalsize{AB\cdot{\sqrt{2}}}}{\normalsize{2}} \rightarrow \text{ радиуси на описаната около основата окръжност} \\ \angle{AOB}=\angle{BOC}=\angle{COD}=\angle{AOD}=90^{\circ} \\ AK=BK=BN=CN=CP=DP=DQ=AQ=\frac{AB}{2} \\ OK=ON=OP=PQ=\frac{\normalsize{AB}}{\normalsize{2}} \text{ радиуси на вписаната в основата окръжност} \\ OK \bot AB, ON \bot BC, OP \bot CD, OQ \bot AD, PK \| AD, PK \| BC, NQ \| AB, NQ \| CD \\ PK=NQ=AB \end{cases}[/tex]

[tex]ABCDM \rightarrow \begin{cases} AM=BM=CM=DM \\ MK = MN = MP = MQ \text{ апотеми (височини на околни стени)} \\ MO \bot p(ABCD) \Rightarrow MO \bot AC, MO \bot BD\\ \angle{OAM}=\angle{OBM}=\angle{OCM}=\angle{ODM} \\ \angle{OKM}=\angle{ONM}=\angle{OPM}=\angle{OQM} \\ \triangle{ABM} \cong \triangle{BCM} \cong \triangle{CDM} \cong \triangle{DAM} \\ \triangle{AOM} \cong \triangle{BOM} \cong \triangle{COM} \cong \triangle{DOM} \\ \triangle{KOM} \cong \triangle{NOM} \cong \triangle{POM} \cong \triangle{QOM} \end{cases}[/tex]

За правилна четириъгълна пирамида са общоприети следните условни означения:
[tex]AB=BC=CD=AD=a; \hspace{2em} AM=BM=CM=DM=l ; \hspace{2em} MK=MN=MP=MQ=k ; \hspace{2em} MO=H; \hspace{2em} AC=BD=d[/tex]


За правилна четириъгълна пирамида са винаги изпълнени следните равенства:
[tex]d^{2}=2\cdot{a^{2}} ; \hspace{2em} l^{2}=H^{2}+\frac{a^{2}}{2} ; \hspace{2em} k^{2} = H^{2} + \frac{a^{2}}{4} ; \hspace{2em} l^{2} = k^{2} + \frac{a^{2}}{4}[/tex]

[tex]B=S_{ABCD}=a^{2}=\frac{d^{2}}{2} \text{ лице на основата}; \hspace{2em} S_{ABCDM}=2\cdot{a}\cdot{k} \text{ лице на околна повърхнина}[/tex]

[tex]S_{1_{ABCDM}}=B+S \text{ лице на пълна повърхнина}; \hspace{2em} V_{ABCDM}=\frac{1}{3}\cdot{B}\cdot{H}=\frac{a^{2}\cdot{H}}{3} \text{ обем на пирамидата}[/tex]

Не показвам тригонометрията, защото не знам дали сте учили.

[ammornil]

(1) От лицето на околната повърхнина изразете апотемата чрез основния ръб. Заместете полученото в равенството, което свързва околен ръб, основен ръб и апотема и ще намерите основния ръб.

Скрит текст: покажи

[tex]k=\frac{S_{1}}{2\cdot{a}}, \hspace{2em} l^{2} = k^{2} + \frac{a^{2}}{4} , a>0[/tex]

(2) От лицето на околната повърхнина и основния ръб намерете апотемата на пирамидата. Заместете във равенствтото което свързва апотема, височина на пирамидата и основен ръб и ще намерите височината.

Скрит текст: покажи

[tex]k=\frac{S_{1}}{2\cdot{a}}, \hspace{2em} k^{2}=H^{2}+\frac{a^{2}}{4}, H>0[/tex]

[ammornil]

Screenshot 2023-04-24 135522.png (33.74 KiB) Прегледано 1398 пъти

[tex][/tex]
За правилна триъгълна пирамида са винаги изпълнени следните условия (именувани по елементите на приложения чертеж):
[tex]ABC \rightarrow \hspace{2em} \begin{cases} AB=BC=AC \\ \angle{CAB}=\angle{ABC}=\angle{BCA}=60^{\circ} \\ AC \bot BD \\ AK=BK=BN=CN=CP=AP=\frac{\normalsize{AB}}{\normalsize{2}} \\ AN \bot BC, BP \bot AC, CK \bot AB \\ AN=BP=CK=\frac{\normalsize{AB\cdot{\sqrt{3}}}}{\normalsize{2}} \text{ височини на основата} \\ AN \cap BP \cap CK = O \\ AO=BO=CO=\frac{\normalsize{AB\cdot{\sqrt{3}}}}{\normalsize{3}} \text{ радиуси на описаната около основата окръжност} \\ OK=ON=OP=\frac{\normalsize{AB\cdot{\sqrt{3}}}}{\normalsize{6}} \text{ радиуси на вписаната в основата окръжност} \end{cases}[/tex]

[tex]ABCM \rightarrow \begin{cases} AM=BM=CM \\ MK = MN = MP \text{ апотеми (височини на околни стени)} \\ MO \bot p(ABCD) \Rightarrow MO \bot AC, MO \bot BD\\ \angle{OAM}=\angle{OBM}=\angle{OCM} \\ \angle{OKM}=\angle{ONM}=\angle{OPM} \\ \triangle{ABM} \cong \triangle{BCM} \cong \triangle{CAM} \\ \triangle{AOM} \cong \triangle{BOM} \cong \triangle{COM} \\ \triangle{KOM} \cong \triangle{NOM} \cong \triangle{POM} \end{cases}[/tex]

За правилна триъгълна пирамида са общоприети следните условни означения:
[tex]AB=BC=AC=a; \hspace{2em} AM=BM=CM=l ; \hspace{2em} MK=MN=MP=k ; \hspace{2em} MO=H[/tex]


За правилна триъгълна пирамида са винаги изпълнени следните равенства:
[tex]l^{2}=H^{2}+\frac{a^{2}}{3} ; \hspace{2em} k^{2} = H^{2} + \frac{a^{2}}{12} ; \hspace{2em} l^{2} = k^{2} + \frac{a^{2}}{4}[/tex]

[tex]B=S_{ABC}=\frac{a^{2}\cdot{\sqrt{3}}}{4} \text{ лице на основата}; \hspace{2em} S_{ABCM}=\frac{3\cdot{a}\cdot{k}}{2} \text{ лице на околна повърхнина}[/tex]

[tex]S_{1_{ABCDM}}=B+S \text{ лице на пълна повърхнина}; \hspace{2em} V_{ABCDM}=\frac{1}{3}\cdot{B}\cdot{H}=\frac{\sqrt{3}\cdot{a^{2}}\cdot{H}}{12} \text{ обем на пирамидата}[/tex]

Не показвам тригонометрията, защото не знам дали сте учили.

[ammornil]

(3)

Screenshot 2023-04-24 141505.png (6.19 KiB) Прегледано 1397 пъти

[tex][/tex]
Триъгълник [tex]AMB[/tex] има страни [tex]AB=18[cm], AM=BM=l[/tex] и [tex]\angle{MAB}=45^{\circ}, AK=BK=\frac{AB}{2}[/tex].

Скрит текст: покажи

[tex]\begin{cases} \triangle{ABM} \text{ равнобедрен} (AM=BM) \\ \angle{MAB}=45^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{MBA}=45^{\circ} \Rightarrow \angle{AMB}=90^{\circ} \Rightarrow MK=m_{C}=\frac{AB}{2} \text{ медианата в правоъгълен триъгълник е половината от хипотенузата.}[/tex]
[tex]\text{Понеже триъгълникът } ABM \text{ е и равнобедрен, следва че } MK=h_{C}[/tex]

Като знаем хипотенузата и височината към нея можем да намерим лицето на околната стена, а околната повърхнина на пирамидата е три пъти лицето на една околна стена.