Намиране на S на сечение

[Гост]

Здравейте, успявам да построя сечението в тази задача, но се затруднявам с намирането на лицето му и наистина ще оценя, ако някой може да ми помогне.

Основният ръб на правилна триъгълна пирамида е 7 см и височината й е 28 см. През основния ръб минава сечение, перпендикулярно на срещуположния околен ръб. Да се намери лицето на сечението.

[ammornil]

Основният ръб на правилна триъгълна пирамида е 7 см и височината й е 28 см. През основния ръб минава сечение, перпендикулярно на срещуположния околен ръб. Да се намери лицето на сечението.

Screenshot 2023-04-30 105807.png (44.74 KiB) Прегледано 1314 пъти

[tex][/tex]
Всички дъжини на отсечки са в сантиметри, лицата на равнинни фигури са в квадратни сантиметри.
[tex]a=AB=BC=AC=7, AN=NB=BP=PC=CQ=AQ=\frac{7}{2}[/tex]
[tex]BQ\cap AP = G \begin{cases}-\text{ медицентър, ортоцентър, пресечна точка на симетралите на страните на основата} \\ -\text{център на вписаната в основата окръжност} \\ -\text{ център на описаната около основата окръжност} \end{cases}[/tex]
[tex]MG \bot p(ABC), H=MG=28[/tex]
Предполагам, че сте пресметнали елементите на пирамидата:

Скрит текст: покажи

[tex]BQ=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{2} \Rightarrow BG = \frac{2}{3}\cdot{BQ}=\frac{7\sqrt{3}}{3}, GQ=\frac{1}{3}\cdot{BQ}=\frac{7\sqrt{3}}{6}[/tex]

[tex]BM^{2}=BG^{2}+MG^{2}=\frac{49}{3}+28^{2}=\frac{2401}{3} \Rightarrow l=BM=CM=AM=\frac{49\sqrt{3}}{3}[/tex]

[tex]MQ^{2}=GQ^{2}+NG^{2}=\frac{49}{12}+28^{2}=\frac{9457}{12} \Rightarrow k=MQ=MP=MN=\frac{7\sqrt{579}}{12}[/tex]

[tex]QQ_{1} \bot BM \Rightarrow AQ_{1}C \text{ е търсеното сечение } \rightarrow QQ_{1} \bot p(AQ_{1}C \Rightarrow \begin{cases} AQ_{1} \bot BM \\ CQ_{1} \bot BM \end{cases}[/tex]

[tex]\triangle{MAB} \rightarrow \cos{\angle{MBA}}=\frac{AB^{2}\cancel{+MB^{2}}\cancel{-AM^{2}}}{2\cdot{AB}\cdot{MB}}=\frac{49}{2\cdot{7}\cdot{\frac{49}{\sqrt{3}}}}=\frac{\sqrt{3}}{14}[/tex]

[tex]\sin{\angle{MBA}}=\sqrt{1- \cos^{2}{\angle{MBA}}}=\frac{\sqrt{193}}{14} \Rightarrow AQ_{1}=AB\cdot{\sin{\angle{MBA}}}=\frac{\sqrt{193}}{2}[/tex]

[tex]\triangle{ABQ_{1}} \cong \triangle{BAQ_{1}} \begin{cases} \angle{AQ_{1}B}=\angle{CQ_{1}B}=90^{\circ} \\ AB=BC \\ BQ_{1} -\text{ обща} \end{cases} \Rightarrow AQ_{1}=BQ_{1}[/tex]

[tex]\triangle{AQ_{1}C} \rightarrow S_{\triangle{AQ_{1}C}}=\sqrt{\frac{AQ_{1}+CQ_{1}+AC}{2}\cdot \frac{AQ_{1}+CQ_{1}-AC}{2}\cdot \frac{\cancel{AQ_{1}}+AC\cancel{-CQ_{1}}}{2}\cdot \frac{\cancel{CQ_{1}}+AC\cancel{-AQ_{1}}}{2}}[/tex]

[tex]S_{\triangle{AQ_{1}C}}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{[(AQ_{1}+CQ_{1})^{2}-AC^{2}]\cdot AC^{2}}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{\left[\left(\frac{\sqrt{193}}{2}+\frac{\sqrt{193}}{2}\right)^{2}-7^{2}\right]\cdot 7^{2}}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{(193-49)\cdot 7^{2}}[/tex]

[tex]S_{\triangle{AQ_{1}C}}=\frac{1}{4}\cdot 12\cdot 7=21[/tex]

**************************************************************************************************************************************************
Друго решение след намиране на [tex]\cos{\angle{MBA}}[/tex]
[tex]BQ_{1}=AB\cdot \cos{\angle{MBA}}=\cdots[/tex]
[tex]QQ_{1}^{2}=BQ^{2}-BQ^{2}_{1} \Rightarrow QQ_{1}=\sqrt{BQ^{2}-BQ^{2}_{1}}[/tex]
[tex]\triangle{ABQ_{1}} \cong \triangle{BAQ_{1}} \Rightarrow AQ_{1}=CQ_{1} \Rightarrow \triangle{AQ_{1}C}-\text{ равнобедрен } \Rightarrow Q_{1}Q \bot AC[/tex]
[tex]S_{\triangle{AQ_{1}C}}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot QQ_{1}[/tex]

[S.B.]

Здравейте, успявам да построя сечението в тази задача, но се затруднявам с намирането на лицето му и наистина ще оценя, ако някой може да ми помогне.

Основният ръб на правилна триъгълна пирамида е 7 см и височината й е 28 см. През основния ръб минава сечение, перпендикулярно на срещуположния околен ръб. Да се намери лицето на сечението.

Без заглавие - 2023-04-30T203511.086.png (395.27 KiB) Прегледано 1295 пъти

И още един поглед върху задачата:
Построение:
Нека [tex]C_{1 }[/tex] е среда на $AB$
Построявам права [tex]l \begin{cases} l z C_{1 } \\ l \bot CD\\l \cap CD = P\end{cases}[/tex]
Построявам равнина [tex]\alpha[/tex] през $AB$ и [tex]C_{1 }P[/tex].Сечението на равнината [tex]\alpha[/tex] с пирамидата е [tex]\triangle ABP[/tex]
[tex]CD \bot (ABP)[/tex] защото е перпендикулярна на 2 пресичащи се прави от равнината [tex]\alpha[/tex]:
[tex]CD \bot C_{1 }P[/tex] по построение
[tex]CH[/tex] е ортогоналната проекция на $DC$ върху равнината на основата.
[tex]CH \in C C_{1 }, C C_{1 } \bot AB \Rightarrow DC \bot AB[/tex] (по теоремата за трите перпендикуляра)
[tex]DC \bot ABP[/tex]
Построявам сечение на пирамидата по околния ръб $CD$ и височината в основата [tex]C C_{1 } : \triangle C C_{1 }D[/tex]
Пирамидата е правилна,триъгълна и върхът $D$ се проектира върху медицентъра $H$
[tex]C C_{1 } = \frac{7 \sqrt{3} }{2}[/tex] ( защото [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен със страна $7$)
[tex]CH = \frac{2}{3} \frac{7 \sqrt{3} }{2}= \frac{7 \sqrt{3} }{3} , H C_{1 } = \frac{7 \sqrt{3} }{6}[/tex]

От [tex]\triangle DHC \rightarrow\displaystyle \frac{CH}{DH} = \cotg \varphi \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{7 \sqrt{3} }{3} }{28} \Rightarrow \cotg \varphi = \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{12}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{\cos \varphi }{\sin \varphi } = \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{12} \\ \sin^{2 } \varphi + \cos^{2 } \varphi = 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \cos \varphi = \sin \varphi.\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{12} \\ \sin^{2 } \varphi + \sin^{2 } \varphi .\displaystyle \frac{3}{144} = 1 \end{array} \Leftrightarrow \sin^{2 } \varphi . \displaystyle\frac{49}{48} = 1 \Rightarrow \sin \varphi = \displaystyle \frac{4 \sqrt{3} }{7}[/tex]

От [tex]\triangle C_{1 }CP \rightarrow \frac{ C_{1 }P }{C C_{1 } } = \sin \varphi \Leftrightarrow C_{1 }P = \frac{7 \sqrt{3} }{2}. \frac{4 \sqrt{3} }{7}[/tex]
[tex]\Rightarrow C_{1 }P = 6, S_{ABP } = \frac{AB. C_{1 }P }{2} \Leftrightarrow S_{ABP } = \frac{6.7}{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABP } = 21$$

[Евва]

Ето още една идея от мен ,като се възползвам от чертежа на ammornil и намерения
от него /нея околен ръб ВМ= [tex]\frac{49 \sqrt{3} }{3}[/tex] .

Да означим [tex]S_{AQ1C }[/tex] =E=?

[tex]V_{ABCM }[/tex] =[tex]V_{AQ1CB }[/tex] +[tex]V_{AQ1CM }[/tex]

[tex]\frac{ S_{ABC } .MG}{3}[/tex] =[tex]\frac{E.B Q_{1 } }{3}[/tex] +[tex]\frac{E.M Q_{1 } }{3}[/tex]

[tex]\frac{49 \sqrt{3} }{4}[/tex] .28 =E(B[tex]Q_{1 }[/tex] +M[tex]Q_{1 }[/tex] )

49.7[tex]\sqrt{3}[/tex] =E.BM

49.7[tex]\sqrt{3}[/tex] =E.[tex]\frac{49 \sqrt{3} }{3}[/tex]

E =[tex]S_{AQ1C }[/tex]= 21 [tex]см.^{2 }[/tex]