Пирамида, вписана в сфера

[k0rt3]

През точка от сфера с радиус R са построени три равни хорди. Намерете дължината на хордите, ако две от тях сключват помежду си ъгъл 60 градуса. Моля за пълно решение

[peyo]

През точка от сфера с радиус R са построени три равни хорди. Намерете дължината на хордите, ако две от тях сключват помежду си ъгъл 60 градуса. Моля за пълно решение

Хордата няма ли смисъл само в 2D и предимно за окръжност!? Какво е хорда в сфера?

[S.B.]

Хордата няма ли смисъл само в 2D и предимно за окръжност!? Какво е хорда в сфера?

Ако около пирамида може да се опише сфера,то всичките ѝ ръбове са хорди на сферата и симетралните им равнини минават през центъра на сферата.

[S.B.]

През точка от сфера с радиус R са построени три равни хорди. Намерете дължината на хордите, ако две от тях сключват помежду си ъгъл 60 градуса. Моля за пълно решение

Без заглавие - 2023-06-04T202209.341.png (425.27 KiB) Прегледано 1290 пъти

Тъй като хордите са с равни дължини и всеки две от тях сключват ъгъл [tex]60 ^\circ[/tex], то те образуват правилен тетраедър.Всяка негова стена е равностранен триъгълник.
Нека дъжината на хордата е $a$.
Построявам симетралните равнини на основните ръбове.Те минават през центъра на сферата.
Разглеждам едно от сеченията ,които се получават - сечението на симетралната равнина на основния ръб $BC$:
$NA$ е височината в основата [tex]\triangle ABC[/tex].Триъгълникът е равностранен със страна $a$.
$AN$ е и медиана, а $G$ е медицентър. [tex]GM \bot (ABC) , GM = h[/tex]
[tex]AN = \frac{a \sqrt{3} }{2} \Rightarrow AG = \frac{2}{3} \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{a \sqrt{3} }{3}[/tex]
За [tex]\triangle AGM[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]GM^{2 } = AM^{2 } - AG^{2 } \Leftrightarrow h^{2 } = a^{2 } - ( \frac{a \sqrt{3} }{3}) ^{2 } \Leftrightarrow h^{2 } = a^{2 } - \frac{ a^{2 } }{3} \Leftrightarrow h^{2 } = \frac{2}{3} a^{2 } \Rightarrow h = \frac{a \sqrt{6} }{3}[/tex]
[tex]MM_{1 } = 2R[/tex] (диаметър на сферата)[tex]\Rightarrow \angle MAM_{1 } = 90 ^\circ , \triangle MAM_{1 }[/tex] е правоъгълен, [tex]AG \bot M M_{1 }[/tex]
От метричните свойства в правоъгълен триъгълник следва:
[tex]AG^{2 } = MG.G M_{1 } \Leftrightarrow ( \frac{a \sqrt{3} }{3}) ^{2 } = h(2R - h) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{ a^{2 } }{3} = \frac{a \sqrt{6} }{3}(2R - \frac{a \sqrt{6} }{3}) \Leftrightarrow \frac{ a^{2 } }{3} = \frac{2a \sqrt{6} }{3}.R - \frac{2 a^{2 } }{3} \Leftrightarrow a^{2 } = \frac{2 a\sqrt{6} }{3}.R ,a \ne 0[/tex]
$$\Rightarrow a = \frac{2 \sqrt{6} }{3}.R $$

[Румен Симеонов]

През точка от сфера с радиус R са построени три равни хорди. Намерете дължината на хордите, ако две от тях сключват помежду си ъгъл 60 градуса. Моля за пълно решение

Да не би да сте искали условието така да се разбира като да би било дадено, че ВСЕКИ две от хордите сключват ъгъл 60 градуса помежду си?

[Румен Симеонов]

През точка от сфера с радиус R са построени три равни хорди. Намерете дължината на хордите, ако две от тях сключват помежду си ъгъл 60 градуса. Моля за пълно решение

Строго прецизно казано ,,две от тях сключват помежду си ъгъл 60 градуса" означава, че хордите от поне една двойка от някои 2 от дадените 3 хорди сключват помежду си ъгъл 60 градуса. Следва, че триъгълникът с 2-ве от страните си - една такав 2-ка е равностранен и вписан в сферата. Следва, че въпросната дължина на (ненулеви) хорди е равна или е между $0$ и $(3/2)(2/\sqrt{3})R=\sqrt{3}R$. Обратно, лесно се съобразява, че всяко число $a$, за което $0<a\leqq\sqrt{3}R$ е дължина на някоя тройка хорди удовлетворяващи хипотезите на задачата, независимо дали условието се осмисля, като да би означавало, че ПОНЕ 1-на двойка хорди сключват ъгъл 60 градуса помежду си или условието се осмисля, като да би означавало, че ТОЧНО 1-на двойка хорди сключват ъгъл 60 градуса помегду си. Следва, че отговорът е: Всяко число $a$, за което е изпълнено $0<a\leqq\sqrt{3}R$ е една от възможните и търсени дължини и други такива числа(-дължини) няма.

[k0rt3]

През точка от сфера с радиус R са построени три равни хорди. Намерете дължината на хордите, ако две от тях сключват помежду си ъгъл 60 градуса. Да, става въпрос за точно 2 от хордите, тоест не е правилен тетраедър. Моля за пълно решение по този начин.

[peyo]

През точка от сфера с радиус R са построени три равни хорди. Намерете дължината на хордите, ако две от тях сключват помежду си ъгъл 60 градуса. Да, става въпрос за точно 2 от хордите, тоест не е правилен тетраедър. Моля за пълно решение по този начин.

Тогава задачата не е точно дефинирана, тоест дължините могат да имат каквито си искат стойности. Е може би не съвсем каквито си искат. Най-голямата може да е 2*R, останалите по-малки.

[k0rt3]

През точка от сфера с радиус R са построени три равни хорди. Намерете дължината на хордите, ако две от тях сключват помежду си ъгъл 60 градуса.Да, в условието не пише всеки, тоест са точно 2 хорди и фигурата не е правилен тетраедър. Моля за пълно решение по този начин

[Румен Симеонов]

През точка от сфера с радиус R са построени три равни хорди. Намерете дължината на хордите, ако две от тях сключват помежду си ъгъл 60 градуса.Да, в условието не пише всеки, тоест са точно 2 хорди и фигурата не е правилен тетраедър. Моля за пълно решение по този начин

По-горе почти пълно обосновах, че отговорът е: Всяко число
$a$, за което е изпълнено $0 < a ≦ \sqrt{3} R$ е една от възможните и търсени дължини и други такива числа(-дължини) няма. Подробностите изискват да се прекара равнина през центъра на сферата успоредна на точно двете равни хорди с ъгъл 60 градуса между тях. Третата хорда не е проблем да се донагоди (в която и секуща равнина да са двете специални хорди). Във въпросната равнина през центъра се достига дясното неравенство.