Ротационни тела

[Гост]

20230612_143401.jpg (524.85 KiB) Прегледано 1178 пъти

[ammornil]

(6)

Screenshot 2023-06-13 101319.png (25.16 KiB) Прегледано 1154 пъти

[tex][/tex]
[tex]\widehat{BDA}=2\cdot \widehat{ACB} \Rightarrow \angle{BDA} = 2\cdot \angle{ACB}[/tex]
[tex]\angle{BDA} + \angle{ACB} = 360^{\circ} \Rightarrow 3 \cdot \angle{ACB} = 360^{\circ} \Rightarrow \angle{ACB} = 120^{\circ}[/tex]
[tex]\triangle{AOF} \rightarrow \angle{AOF}=90^{\circ} \Rightarrow AF^{2} = AO^{2} + OF^{2} \Leftrightarrow l^{2}=r^{2}+H^{2}[/tex]
[tex]\triangle{ABF} \rightarrow \angle{AFB}=90^{\circ}, AF=BF \Rightarrow AB= AF\cdot \sqrt{2} \Leftrightarrow AB=l\cdot \sqrt{2}[/tex]
[tex]\triangle{ABO} \rightarrow AB^{2} = AO^{2} + BO^{2} - 2\cdot AO\cdot BO\cdot \cos{\angle{ACB}} \Rightarrow 2\cdot l^{2} = r^{2} + r^{2} - 2\cdot r\cdot r\cdot \left(-\frac{1}{2} \right) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\hspace{5em} \Leftrightarrow 2\cdot l^{2} = 3\cdot r^{2} \Leftrightarrow l^{2} = \frac{3}{2}\cdot r^{2}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} r^{2} + H^{2} = l^{2} \\ l^{2} = \frac{3}{2}\cdot r^{2} \end{array} \Rightarrow r^{2} + H^{2} = \frac{3}{2}\cdot r^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cdot r^{2} = H^{2} \Leftrightarrow r^{2} = 2\cdot H^{2}[/tex]

[tex]V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^{2} \cdot H= \frac{1}{3}\cdot \pi\cdot 2\cdot H^{2} \cdot H=\frac{2}{3}\cdot \pi \cdot H^{3}[/tex]

[ammornil]

(7)
Понеже централният ъгъл на развивката е [tex]120^{\circ}[/tex] то дъгата (която е обиколката на основата на конуса) е [tex]\frac{1}{3}[/tex] от дължината на окръжност с радиус равен на образувателната на конуса.
[tex]\Rightarrow 2\cdot \pi\cdot r = \frac{1}{3}\cdot 2\cdot \pi \cdot l \Leftrightarrow r = \frac{1}{3}\cdot l[/tex]

Освен това [tex]\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot l^{2} = S \Rightarrow l=\sqrt{\frac{3\cdot S}{\pi}} \Rightarrow r = \frac{1}{3}\cdot \sqrt{\frac{3\cdot S}{\pi}}=\sqrt{\frac{S}{3\cdot \pi}}[/tex]

За прав кръгов конус е винаги в сила равенството:
[tex]l^{2} = r^{2} + H^{2} \Rightarrow H^{2}=\frac{3\cdot S}{\pi} - \frac{S}{3\cdot \pi}=\frac{9\cdot S- S}{3\cdot \pi}=\frac{8\cdot S}{3\cdot \pi} \Rightarrow H=\sqrt{\frac{8\cdot S}{3\cdot \pi}}=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{S}{3\cdot \pi}}=2\sqrt{2}\cdot r[/tex]

[tex]V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^{2}\cdot H= \frac{1}{3}\cdot \pi\cdot \frac{S}{3\cdot \pi} \cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{S}{3\cdot \pi}}=\frac{2\sqrt{2}}{9}\cdot S\cdot \sqrt{\frac{S}{3\cdot \pi}}[/tex]

[ammornil]

(8)
Получава се прав кръгов конус с височина равна на височината на триъгълника и образувателна равна на бедрото на триъгълника.
[tex]H=16[cm]; \hspace{2em} l=22[cm][/tex]

[tex]l^{2} = r^{2} + H^{2} \Rightarrow r^{2}=l^{2}-h^{2}=22^{2}-16^{2}=228 \Rightarrow r=2\sqrt{57}[cm][/tex]

[tex]S=\pi \cdot r\cdot l =\pi \cdot 2\sqrt{57}\cdot 22=44\cdot\pi\cdot \sqrt{57}[cm^{2}][/tex]

[mail_dinko]

Зад. 8
[tex]S= \pi . r. l = 176 \pi[/tex]

[ammornil]

Да, правилно. Аз съм решил че е дадена височината