Основна теорема на полигонометрията

[Румен Симеонов]

Докажете основната теорема на полигонометрията (на ЛьУл(и)ье, Люл(и)ье - от френски, а той е швейцарец, Юли(ь)е - от английско изписване):

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9B% ... 0%BE%D0%BD

[Румен Симеонов]

А именно:

Теорема на Юлие (1789) [на фр. L'Huilier, L'Huillier, на англ. Huilier]

Лицето на всяка една стена на даден многостен е равно на сумата от лицата на всички останали стени всяко умножено със съответния косинус на ъгъла, който съответната друга стена сключва с първата.

Малко се чудя (ама наистина ли се чудя и колко) дали наистина е в сила за произволни (напримяр неизпъкнали) многостени и дали е в сила дори ако някои от ,,другите" стени нямат общ ръб с първоначалната [т.е.(!?) - дали е задължително да е пирамида многостенът - явно не е и това я прави много интересна тази теорема]. Във всички случаи е в сила за изпъкнал тетраедър. Докажете я първоначално поне за изпъкнал (иначе произволен) тетраедър!

В книге «Полигонометрия» (1789) Люилье обобщил тригонометрические соотношения для треугольников, дав их аналоги для произвольных многоугольников, включая пространственные. В работах на эту тему Люилье привёл основную теорему полигонометрии: площадь каждой грани многогранника равна сумме произведений площадей остальных граней на косинусы углов, образуемых ими с первой гранью.

[Румен Симеонов]

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%A2% ... 0%BA%D0%B5
...
Формулировка

Среди всех выпуклых многогранников трёхмерного евклидова пространства с данными направлениями граней и с данным объёмом наименьшую площадь поверхности имеет многогранник, описанный вокруг шара[2].

Замечания

Теорема доказана в 1869 году Леонардом Линделёфом — отцом знаменитого финского математика Эрнста Линделёфа, широко известного, например, как автора принципа Фрагмена — Линделёфа.

Вариации и обобщения

Теорема справедлива в евклидовом пространстве любой размерности большей или равной 2 и может быть выведена из неравенства Брунна — Минковского [3].
На евклидовой плоскости аналогом теоремы Линделёфа о многограннике наименьшей площади при заданном объёме является следующая теорема Люилье:
Из всех выпуклых многоугольников, стороны которых имеют данное направление и периметр которых имеет заданную длину, наибольшую площадь имеет многоугольник, описанный вокруг окружности[4].

Примечания

L. Lindelöf, Propriétés générales des polyèdres qui, sous une étendue superficielle donnée referment le plus grand volume // Bull. de St. Pét. XIV. 237—269 (1869). Clebsch Ann. II. 150—159. 1870 (1869).
А. Д. Александров, Выпуклые многогранники. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. Второе издание: А. Д. Александров, Избранные труды. Том 2. Выпуклые многогранники. Новосибирск: Наука, 2007. ISBN 978-5-02-023184-9
Л. А. Люстерник, Применение неравенства Брунна — Минковского к экстремальным задачам // Успехи мат. наук, 2, 47-54 (1936).
Л. А. Люстерник, Выпуклые фигуры и многогранники. М.: ГИТТЛ, 1956.

[Румен Симеонов]

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9B% ... 0%BE%D0%BD

[ptj]

А именно:

Теорема на Юлие (1789) [на фр. L'Huilier, L'Huillier, на англ. Huilier]

Лицето на всяка една стена на даден многостен е равно на сумата от лицата на всички останали стени всяко умножено със съответния косинус на ъгъла, който съответната друга стена сключва с първата.

Малко се чудя (ама наистина ли се чудя и колко) дали наистина е в сила за произволни (напримяр неизпъкнали) многостени и дали е в сила дори ако някои от ,,другите" стени нямат общ ръб с първоначалната [т.е.(!?) - дали е задължително да е пирамида многостенът - явно не е и това я прави много интересна тази теорема]. Във всички случаи е в сила за изпъкнал тетраедър. Докажете я първоначално поне за изпъкнал (иначе произволен) тетраедър!

В книге «Полигонометрия» (1789) Люилье обобщил тригонометрические соотношения для треугольников, дав их аналоги для произвольных многоугольников, включая пространственные. В работах на эту тему Люилье привёл основную теорему полигонометрии: площадь каждой грани многогранника равна сумме произведений площадей остальных граней на косинусы углов, образуемых ими с первой гранью.

Достатъчно е от контурите на всяка друга страна да спуснеш перпендикуляри към основната стена и ще получиш разбиване на тела, за всяко от които доказателството на теоремата е лесно. Може да използваш например граница на лицата на две суми от многоъгълмици (вписани и описани) ограничаващи съответно отгоре и отдолу лицето на съответната стена и имащи естествено за граница нейното лице.

П.П. Друг вариант може да е например същото разбиване и принципа на Кавалиери и т.н.

[Румен Симеонов]

...
Достатъчно е от контурите на всяка друга страна да спуснеш перпендикуляри към основната стена и ще получиш разбиване на тела, за всяко от които доказателството на теоремата е лесно. Може да използваш например граница на лицата на две суми от многоъгълмици (вписани и описани) ограничаващи съответно отгоре и отдолу лицето на съответната стена и имащи естествено за граница нейното лице.

П.П. Друг вариант може да е например същото разбиване и принципа на Кавалиери и т.н.

Браво, страхотно чувсттво за ориентация имате. Хвърляте всички необходими (и някои излишни дори) идеи, с които задачата ще може да бъде решена. Например, не виждам защо да апроксивирам многоъгълник с вписани и описани в него дпуги многоъгълници, но, ,,идеята" е вярна. Трябва още да се спомене, че лицата на наклонените стени, като се умножат със съответните косинуси ще се получат лицата на техните проекции. Остава да се изполва адитивност на функцията лице на многоъгълник в равнината на първоначалната стена. Най-труднотo е, че всъщност имаме ,,алгебрично" (със знак $\pm 1$) проектирано лице на стена (в зависимост дали нагоре или надолу спрямо посоката на проектиране е обърнат нормалният и сочещ навън от тялото вектор, който е пеерпендикулярен (т.е. - нормален) към съответната стена. Кавалиери и въобще обемът на тялото няма да ни трябват - така мисля. Остава малко да се поизчисти формално решението което така аз нахвърлих. Най-трудно е да се каже от кой ъгъл се взема косинус. Идеята е да бъде ъгъла откъм вътрешността на тялото в точка от съответнна стена (включително и ,,откъм" вътрешната страна на първоначалната стена Остават някои подробности все пак. И тук ,,философията" е по-трудната част, а не изчисленията. Въобще, даването на точни и подходящи дефиниции не е лесна работа - трябва много мислене и писане. Но аз харесвам вашите идеи, както винаги. Възползвах се от вашата редукция до $p=1$ на онази задача с минимум на функция, например. В настояката задача не помагат, но все пак харесвам начинът ви на мислене. А идеите с алгебричните проекции, които аз изложих тук, ги имах предвид още когато поставях задачата.

[ptj]

Идета за апроксимация допускаше възможността контура да не е многоъгълник, т.е. теормата е вярна също и за тела с не непременно плоски стени.

[Румен Симеонов]

Идета за апроксимация допускаше възможността контура да не е многоъгълник, т.е. теормата е вярна също и за тела с не непременно плоски стени.

Много добре. Има една подробност. При неплоските (частично гладки двумерни контури заграждащи обемно тяло) - те не могат да се апроксимират с вписани и описани многоъгълници (именно защото тези повърхнини не са равнинни, а многълниците са равнинни). Все пак, някаква апроксимация се прави - чрез множество малки допирателни успоредничета (които си рабогат поотделно и не са стени на псвърхнина - нито на вписана нито на описана около часг от контура на тялото). Съответно на проектираното лице се интегрира подходяща дифференциална 2-форма. Ако успеете да я запишете и да формулирате съответна теорема за интеграла от тази форма по контура нй тялото ще ви призная за самобитен откривател надминаващ даже Симон Юлие.
Странно, но защо никъде в съвременните учебници я нама под никаква форма теоремата на Симон Юлие, въпреки че тя е ОСНОВНА за стереометрията (науката за пространствените триъгълници/тетраедри и техните обединения (както и за телата с частично обли повърхнини).

[ptj]

Хм, Не съм съгласен изцяло с последната забележка.
Идеята е, че едно пространсвено тяло има измерим обем ако то може да се апроксимира отгоре и отдолу чрез вписани и описани многостени (не задължително изпъкнали, равнинни стени). Достатъчно е обема на основното тяло да е равно на границата на обемите на тези две редици от многостени. Тогава можем също да твърдим, че съществува и граница на повърнината на тялото и тя е равна на границата на сумата от произведенията на площите на ортогоналните проекции на стените разделени на косинуса на ъгъла, и двете спрямо произволна фиксирана равнина (неперпендикулярна на нито една стена).

П.П. Малко поясннение относно вписаните многостени. Ще искаме само всеки следващ в редицата да е описан спрямо всеки от предишните, т.е. всяка точка от неговите стени(ръбове, върхове) да не е външна за текущия многостен. Също всеки многостен да е вътрешен за основното тяло.

Аналогично за описаните (т.е. искаме и съответните две редици от обеми да са монотонни).

[Румен Симеонов]

...

На път сте славно но бавно да откриете, че не сте прав, особено пък без предполажение за изпъкналост. Имаше един пример мисля на Шварц беше, доказващ именно това - че мярката на повърхнините може да клони към безкрайност. Не е много трудно и сам да си измислите такъв пример. Първо измислете в равнина и после го завъртете осоло оста х. Вземете функция fn с много дълга зигзачена графика (с много на брой гъсти зигзак-отсечки) налмираща се между у=1 и у= 1/n това ще е да описващото тяло. Вземете и една функция gn с много дълга зигзачена графика налмираща се между у=1-1/n и у= 1. Занъртете ги около Ох - за плоскост трябва да въртите на n стъпки за да получите многостенни тера. Сложете едни кръгове оляво и отдясно. Те затварят тела апроксимиращи един цилиндър но мерките на пъвърхнините им няма да апроксимират мярката на повърхнината на цириндъра, защото клонят към безкрайност..

[ptj]

Разбрах, може първо да се конструира затворена крива подобна на окръжност с неимерим брой зигзагобразни области, така че нейната площ да има граница, но дължината й да клони към безкрайност. Пространствения вариант е аналогичен.


Всъщност с малка промяна моята идея мисля , че е работеща:
Ако обема на едно тяло може да се апроксимира отгоре и отдолу с две монотнии редици от взаимно вписани (описани) мнгостени и те имат еднаква граница за обема, то неговите обем и повърхнина са измерими.

[Румен Симеонов]

Ама в примера със зиг-заците те имат еднаква граница на обемите, но повърхнините им клонят към безкрайност. Май нещо не сте доразбрал .

[ptj]

Да, но не не може да се апроксимира по посочения от мен начин.

Бях добавил още нещо, но не знам защо не го виждам:

" Искаме също следващите в редицата апроксимации да могат да се разполагат върху коя да е (покриват) непокрита на предните стъпки област.
Нещо повече, имам хипотеза, че това е условие за гладкост за повърхниннините на тялото и гладкост на кривите, представляващи контура на тези тези повърхности."


П.П. В равниния пример, съдържащ област от неизброим брой зиг-заци - именно тя не може да се апроксимира, чрез монотонни редицици от вписани и описани многъгълници.
В пространствения - аналогично.