Задача от стереометрия

[Гост]

Бихте ли помогнали с тези 2 задачи от стереометрия?

1. Основата АВСD на пирамидата ABCDF е ромб, за който ъгъл BAD e 60 градуса. Ортогоналната проекция О на върха F върху равнината на основата е центърът на вписаната в ABD окръжност с радиус r. Ако острият ъгъл, който равнината (BDF) сключва с равнината на основата, е два пъти по-голям от ъгъла, който FC сключва с основата, да се намери обемът на пирамидата.

2. През един основен ръб на правилна триъгълна призма е прекарана равнина, минаваща през средата на срещуположния околен ръб и образуваща с равнината на основата ъгъл а. Намерете лицето на сечението и околната повърхнина на призмата, ако основният ѝ ръб е а.

[ptj]

Ще Ви обясня само идеята за 1-ва :

[tex]\triangle BAD[/tex] е равностранен, затова т.О съвпада с неговия медицентър (височините, медианите и ъглоповящите в него съвпадат).

Ако точка [tex]А_1[/tex] е средата на [tex]BD[/tex], то правата [tex]AA_1[/tex] е симетрала за отсечката [tex]BD[/tex] като [tex]O[/tex] лежи на [tex]AA_1[/tex] и [tex]АО:ОА_1=2:1[/tex].

Понеже в ранобедрения [tex]\triangle BFD[/tex] медианата между бедрата е и височина, то [tex]BD \bot FA_1[/tex].

(Когато връх на прамида се проектика в център на вписана окръжност за основата, нейните околни ръбове са равни помежду си, т.е. [tex]АF=BF=DF[/tex].)

От горните два реда следва, че ъгъла между равнините [tex](ABD)[/tex] и [tex](BDF)[/tex] е точно равнинния [tex]\angle FA_1A= \alpha[/tex],

защото пресечницата им е перпендикулярна на две прави от [tex](FA_1A)[/tex], а следователно и на самата равнина.

[tex]FO:OA_1=FO:r=tg( \alpha ) \Leftrightarrow FO=r.tg( \alpha )[/tex]

От факта, че диагоналите на ромба са перпендикулярни следва, че точка [tex]О[/tex] лежи на големия диагонал в основата, т.е. на [tex]AC[/tex].

[tex]OC=OA_1+A_1C=r+3r=4r[/tex]

[tex]OF:OC=tg(2 \alpha ) \Leftrightarrow OF=4r.tg(2 \alpha )[/tex].

[tex]BD=2tg(30 ^\circ ).AA_1=2. \frac{1}{\sqrt{3}} .3r= \frac{2r}{ \sqrt{3} } \Rightarrow S_{ \triangle ABD}=\frac{1}{2} BD.AA_1= \frac{1}{2}. \frac{2r}{ \sqrt{3}} .3r=r^2 \sqrt{3}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=2r^2 \sqrt{3}[/tex]

Остава да намерите височината [tex]FO[/tex] използвайки формулата за връзката между тангенсите на ъгъл и два пъти по-голям от него.

Последно - обема на пирамидата.

П.П. Предполагам няма да е проблем да си направите самостоятелно чертеж.