правилна триъгълна пирамида

[Гост]

Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб a = 24√3, в която е вписана сфера с r = 4. Да се намерят височината h и околния ръб L на пирамидата.

[ptj]

Ако основния ръб е [tex]\frac{24}{3}=8[/tex], то височината в равностранния триъгълник (основата) е [tex]\frac{8. \sqrt{3} }{2}[/tex].

Съответно радиуса на вписаната окръжност е [tex]\frac{8. \sqrt{3} }{3.2}<4[/tex].

Т.е. няма как радиуса на вписаната сфера да е по-голям от радиуса на вписната в основата окръжност.



Напиши коректно условивто. Изобщо, ако в правилна пирамида, е даден само основен или само околен ръб, то пирамидата не е напълно определена...

[S.B.]

Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб a = 24√3, в която е вписана сфера с r = 4. Да се намерят височината h и околния ръб L на пирамидата.

Без заглавие - 2024-01-16T203732.206.png (394.69 KiB) Прегледано 1390 пъти

Пирамидата $MABC$ е правилна и върхът $M$ се проектира върху т.$H$,която се явява център на равностранния [tex]\triangle ABC[/tex] - медицентър,ортоцентър ,център на вписаната и описаната окръжност за [tex]\triangle ABC[/tex]
Центърът на вписаната сфера $O$ е пресечна точка на височината $MH$ на пирамидата и ъглополовящите равнини на прилежащите на основата двустенни ъгли.
Построявам сечение $(MNC)$ по апотемата $MN$ на страната $(ABM)$ и околния ръб $MC$, в което сферата се изобразява в окръжност,която се допира до $NC$ в точка $H$,[tex]H \in NC[/tex]
и до $NM$ в т.$T$, [tex]T \in MN, OT \bot MN, OT = OH = r[/tex]
$OH = OT= r = 4$
$NC$ е медиана в [tex]\triangle ABC , AB = BC = CA = 24 \sqrt{3} \Rightarrow NC = 24 \sqrt{3}. \frac{ \sqrt{3} }{2}= 36[/tex]
$H$ е медицентър [tex]\Rightarrow NH = 12 ,CH = 24[/tex]
$ON$ е ъглополовяща на [tex]\angle CNM = 2 \alpha \Rightarrow \angle ONC = \alpha[/tex]
За [tex]\triangle OHN :[/tex]
[tex]\frac{OH}{NH} = \tg \alpha \Leftrightarrow \tg \alpha= \frac{4}{12} \Leftrightarrow \tg \alpha = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } = \frac{1}{3}[/tex]

От системата [tex]\begin{array}{|l} \displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } = \displaystyle\frac{1}{3} \\ \sin^{2 } \alpha + \cos^{2 } \alpha = 1 \end{array}[/tex] получавам [tex]\sin \alpha = \frac{ \sqrt{10} }{10}, \cos \alpha = \frac{3 \sqrt{10} }{10}[/tex]

[tex]\tg \angle MNH = \tg 2 \alpha = \frac{\sin 2 \alpha }{\cos 2 \alpha } = \frac{2\sin \alpha\cos \alpha }{ \cos^{2 } \alpha - \sin^{2 } \alpha }[/tex]
След заместване на получените стойности за [tex]\sin \alpha[/tex] и [tex]\cos \alpha[/tex] получавам:
[tex]\tg 2 \alpha = \frac{3}{4}[/tex]

От [tex]\triangle MNH :[/tex]
[tex]\frac{MH}{NH} = \tg 2 \alpha \Leftrightarrow MH = NH.\tg2 \alpha \Leftrightarrow MH = 12. \frac{3}{4}[/tex]

Скрит текст: покажи

Моля за извинение за това,че в горната част на сечението над окръжността съм използвала буквата $H$! Да се чете като $h$ - височината на пирамидата $MH = h$

$$\Rightarrow h = MH = 9$$

За [tex]\triangle HCM[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]MC^{2 } = MH^{2 } + CH^{2 } \Leftrightarrow MC^{2 } = 9^{2 } + 24^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow L = MC = 3 \sqrt{73} $$

[Гост]

Ако основния ръб е [tex]\frac{24}{3}=8[/tex], то височината в равностранния триъгълник (основата) е [tex]\frac{8. \sqrt{3} }{2}[/tex].

Съответно радиуса на вписаната окръжност е [tex]\frac{8. \sqrt{3} }{3.2}<4[/tex].

Т.е. няма как радиуса на вписаната сфера да е по-голям от радиуса на вписната в основата окръжност.



Напиши коректно условивто. Изобщо, ако в правилна пирамида, е даден само основен или само околен ръб, то пирамидата не е напълно определена...

Ти чети коректно условието - написано е 24√3, а не 24/3

[ammornil]

Не знам кое е смешното. Аз също на пръв поглед се учудих защо сте написали 24/3 вместо 8.

[ptj]

Без очила корена много прилича на деление.