правилна четириъгълна пирамида

[Гост]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида с околен ръб 70см, около която е описана сфера с радиус [tex]25\sqrt{7}[/tex]. Да се намери основният ръб и височината.

[S.B.]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида с околен ръб 70см, около която е описана сфера с радиус [tex]25\sqrt{7}[/tex]. Да се намери основният ръб и височината.

Без заглавие - 2024-01-19T094550.249.png (439.22 KiB) Прегледано 1246 пъти

Пирамидата е правилна,върхът $M$ се проектира върху основата в т.$H$ (пресечна точка на диагоналите на основата),[tex]M M_{1 }[/tex] е диаметър на голямия кръг на сферата.
[tex]MH \in M M_{1 }[/tex]
Нека основният ръб на пирамидата $MABCD$ е $a$
Правя сечение на пирамидата по околните ръбове $AM$ и $CM$ - [tex]\triangle ACM[/tex] , равнобедрен,вписан в голямия кръг на описаната сфера.
[tex]\triangle MM_{1 }C[/tex] е правоъгълен ( защото [tex]ММ_{1 }[/tex] е диаметър)
от метричните свойства на правоъгълен триъгълник имаме:
[tex]MC^{2 } = MH.M M_{1 } \Leftrightarrow 70^{2 } = h.2R \Leftrightarrow 70^{2 } = h.50 \sqrt{7} \Leftrightarrow h = \frac{4900}{50 \sqrt{7} }[/tex]
$$\Rightarrow h = 14 \sqrt{7} $$

[tex]CH \bot M M_{1 } \Rightarrow CH^{2 } = MH.H M_{1 } \Leftrightarrow ( \frac{a \sqrt{2} }{2}) ^{2 } = h.(2R - h) \Leftrightarrow \frac{ a^{2 } }{2} = 14 \sqrt{7}.36 \sqrt{7} \Rightarrow a^{2 }= 84^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow a = 84 $$