Въпрос за куб

[Гост]

Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с ръб равен на 1. Да се намери ъгълът между ъгъла и равнината ((A1BC1), (A1B1C1D1))

Според мен е 60 и триъгълника A1BC1 е равностранен
Но не съм сигурен
Така ли е

[ptj]

Имаш грешка.
За да намериш ъгъла между две равнини първо трябва да определиш тяхната пресечница (права). След това построяваш равнина перпендикулярна на намерената пресечница. Последната равнина образува две нови пресеченици с дадените две равнини. Именно ъгъла между последните две пресечници е търсения ъгъл (между дадените равнини).

Съобразно горното пресечницата на дадените равнини е [tex]A_1C_1[/tex]. Перпендикулярна на нея (пресечницата) е равнината [tex](B_1,D_1,D,B)[/tex].
Новите две пресечници с дадените в условието равнини са [tex]B_1D_1[/tex] и [tex]O_1B[/tex], където [tex]O_1[/tex] е пресената точка на диагоналите на квадрата [tex]A_1B_1C_1D_1[/tex].

Търсения ъгъл [tex]\varphi = arctg(-2)[/tex].

[S.B.]

Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с ръб равен на 1. Да се намери ъгълът между ъгъла и равнината ((A1BC1), (A1B1C1D1))

Според мен е 60 и триъгълника A1BC1 е равностранен
Но не съм сигурен
Така ли е

Без заглавие - 2024-03-05T110019.111.png (258.29 KiB) Прегледано 1182 пъти

Не,не е така!
Търсим двустенния ъгъл между равнините [tex]( A_{1 }B C_{1 } )[/tex] и [tex]A_{1 } B_{1 } C_{1 } D_{1 }[/tex]
Очевидно е ,че [tex]A_{1 } C_{1 }[/tex] принадлежи и на двете равнини [tex]\Rightarrow A_{1 } C_{1 }[/tex] е тяхната пресечница.
[tex]\triangle A_{1 }B C_{1 }[/tex] е равностранен,[tex]BP \bot A_{1 } C_{1 }[/tex] ,[tex]D_{1 }P \bot A_{1 } C_{1 } \Rightarrow \angle D_{1 }PB = \varphi[/tex] е линейният ъгъл на двустенният ъгъл който търсим.
За [tex]\triangle B D_{1 }P[/tex] ще приложим Косинусова теорема:
[tex]\cos \varphi = \frac{ B D_{1 } ^{2 }- P D_{1 } ^{2 } - BP^{2 } }{- 2.P D_{1 }.BP }[/tex]
[tex]PD_{1 } = \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex] (половин диагонал на горната основа)
[tex]BM = \sqrt{2}. \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{ \sqrt{6} }{2}[/tex] (височина в равностранния [tex]\triangle A_{1 }B C_{1 }[/tex] ,който има страна [tex]\sqrt{2}[/tex])
[tex]BD_{1 } = \sqrt{3}[/tex] е диагонал на куб с ръб = $1$

[tex]\cos \varphi = \displaystyle\frac{ ( \sqrt{3}) ^{2 } - \displaystyle ( \frac{ \sqrt{2} }{2}) ^{2 } - \displaystyle ( \frac{ \sqrt{6} }{2}) ^{2 } }{-2.\displaystyle \frac{ \sqrt{2} }{2}\displaystyle \frac{ \sqrt{6} }{2} } = \displaystyle \frac{3 - \displaystyle \frac{2}{4} - \displaystyle \frac{6}{4} }{ -\sqrt{3} } = \displaystyle \frac{3 - 2}{- \sqrt{3} }[/tex]
$$\Rightarrow \cos \varphi = - \frac{ \sqrt{3} }{3}$$

[Гост]

Ако ptj можеше да чертае нямаше да даде грешен отговор

[ammornil]

Ако ptj можеше да чертае нямаше да даде грешен отговор

Отговорът на ptj е напълно верен. Не знам Вие какво гледате.

[ptj]

Понякога е добра да даваш грешни отговори.