Правилна четириъгълна пирамида 10 клас

[Гост]

Моля за помощ! Задачата е следната:
В правилна четириъгълна пирамида ABCDV основните ръбове са равни на 4, а околните на 2[tex]\sqrt{17}[/tex]. Намерете косинуса на ъгъла между правите DV и BM, където М е среда на CV.

[ptj]

Има един много лесен универсален метод за такъв тип задачи, т.е. когато е възможно да намериш 3 перпендикулярни помежду си вектора на чертежа с дължина 1
(въвеждаш ортонормирана коордианта система).

В случая, те ще са с начало средата на основата и ще са по направления съответно [tex]\vec{OA},\vec{OB},\vec{OV}[/tex].
Може да ги означиш примерно с [tex]\vec x, \vec y, \vec z[/tex].



След това избираш два произволни вектора от дадениете прави. Примерно [tex]\vec{DV}, \vec{BM}[/tex].
Трябва да ги изразиш чрез базовите вектори...

П.П. Когато видя, че си го направил (или поне опитал) ще дам останалата част от решението.

[S.B.]

Моля за помощ! Задачата е следната:
В правилна четириъгълна пирамида ABCDV основните ръбове са равни на 4, а околните на 2[tex]\sqrt{17}[/tex]. Намерете косинуса на ъгъла между правите DV и BM, където М е среда на CV.

Без заглавие - 2024-03-04T185136.772.png (265.67 KiB) Прегледано 1345 пъти

Правите $DV$ и $BM$ са кръстосани,защото не лежат в една равнина.
Правата [tex]DV \in (DCV)[/tex] ,а правата [tex]BM \cap (DCV) = M[/tex] или простичко казано $BM$ пробожда равнината в която $DV$ лежи.
За да се намери ъгъла между двете прави трябва през пробода на $BM$,който е т.$M$ да се построи в равнината $(DCV)$ права успоредна на $DV$.Ъгълът между новопостроената права и правата $BM$ е ъгълът който търсим.
В равнината $(DCV)$ построявам [tex]MN || DV , N \in DC,NC= \frac{1}{2}DC = 2[/tex]
$DC$ е средна отсечка в [tex]\triangle DCV \Rightarrow MN = \frac{1}{2}DV = \sqrt{17}[/tex]
[tex]\angle NMB = \varphi[/tex] е търсеният ъгъл и ще го намерим като приложим Косинусова теорема за [tex]\triangle NMB[/tex]
$$NM =\sqrt{17}$$
За правоъгълния [tex]\triangle BNC[/tex] прилагам Питагорова теорема и намирам $$BN = 2 \sqrt{5}$$
$BM$ е медиана в [tex]\triangle BCV[/tex] и я намирам като прилагам формулата за медиана:
[tex]MB^{2 } = \frac{1}{4}(2 .(MC)^{2 } + 2. (BV)^{2 } - (CV)^{2 }) \Leftrightarrow MB^{2 }= \frac{1}{4}(2.16 + 8.17 - 4.17) \Leftrightarrow MB^{2 }= 25[/tex]
$$\Rightarrow MB = 5$$

За [tex]\triangle MNB[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \varphi = \frac{ NB^{2 }- NM^{2 } - BM^{2 } }{-2.NM.BM} \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{20 - 17 - 25}{-2.5. \sqrt{17} } \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{22}{10 \sqrt{17} } = \frac{11}{5 \sqrt{17} }[/tex]
$$\Rightarrow \cos \varphi = \frac{11 \sqrt{17} }{85} $$

[Гост]

Моля за помощ! Задачата е следната:
В правилна четириъгълна пирамида ABCDV основните ръбове са равни на 4, а околните на 2[tex]\sqrt{17}[/tex]. Намерете косинуса на ъгъла между правите DV и BM, където М е среда на CV.

Без заглавие - 2024-03-04T185136.772.png

Правите $DV$ и $BM$ са кръстосани,защото не лежат в една равнина.
Правата [tex]DV \in (DCV)[/tex] ,а правата [tex]BM \cap (DCV) = M[/tex] или простичко казано $BM$ пробожда равнината в която $DV$ лежи.
За да се намери ъгъла между двете прави трябва през пробода на $BM$,който е т.$M$ да се построи в равнината $(DCV)$ права успоредна на $DV$.Ъгълът между новопостроената права и правата $BM$ е ъгълът който търсим.
В равнината $(DCV)$ построявам [tex]MN || DV , N \in DC,NC= \frac{1}{2}DC = 2[/tex]
$DC$ е средна отсечка в [tex]\triangle DCV \Rightarrow MN = \frac{1}{2}DV = \sqrt{17}[/tex]
[tex]\angle NMB = \varphi[/tex] е търсеният ъгъл и ще го намерим като приложим Косинусова теорема за [tex]\triangle NMB[/tex]
$$NM =\sqrt{17}$$
За правоъгълния [tex]\triangle BNC[/tex] прилагам Питагорова теорема и намирам $$BN = 2 \sqrt{5}$$
$BM$ е медиана в [tex]\triangle BCV[/tex] и я намирам като прилагам формулата за медиана:
[tex]MB^{2 } = \frac{1}{4}(2 .(MC)^{2 } + 2. (BV)^{2 } - (CV)^{2 }) \Leftrightarrow MB^{2 }= \frac{1}{4}(2.16 + 8.17 - 4.17) \Leftrightarrow MB^{2 }= 25[/tex]
$$\Rightarrow MB = 5$$

За [tex]\triangle MNB[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \varphi = \frac{ NB^{2 }- NM^{2 } - BM^{2 } }{-2.NM.BM} \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{20 - 17 - 25}{-2.5. \sqrt{17} } \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{22}{10 \sqrt{17} } = \frac{11}{5 \sqrt{17} }[/tex]
$$\Rightarrow \cos \varphi = \frac{11 \sqrt{17} }{85} $$

Благодаря Ви! Разбрах го - много добре е обяснено!