Правилна триъгълна призма

[Гост]

Дадена е правилна триъгълна призма АВСА1В1С1. През основния ръб АВ и върха С1 е построена равнина, която сключва с основата АBC ъгъл, чийто косинус е равен на[tex]\frac {\sqrt{3}}{3}[/tex].
Лицето на сечението на призмата с тази равнина е ранно на S. Да се намери обемът на четириъгълната пиримида ABB1A1C1.

[ammornil]

Забелажка: Записът [tex]...=(h, l, m)[/tex] да се чете като " е едновременно височина, ъглополовяща и медиана".

[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-03-06 113215.png (33.01 KiB) Прегледано 1492 пъти

[tex]\\ p(ABC)\|p(A_{1}B_{1}C_{1}) \\ AB=BC=AC=A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}=A_{1}C_{1} \\ AA_{1}\bot p(ABC), AA_{1}\|BB_{1}\|CC_{1} \\ AD=BD, \angle{C_{1}DC}=\varphi, \cos{\varphi}=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ S_{ABC_{1}}=S \\ \sin{\varphi}=\sqrt{1-\cos^{2}{\varphi}}=\frac{\sqrt{6}}{3} \\ \text{Нека } AB=x \\ \triangle{ABC} \rightarrow CD=(h,l,m) \Rightarrow CD=\frac{x\sqrt{3}}{2} \\ CC_{1}\bot p(ABC) \Rightarrow \angle{C_{1}CD}=90^{\circ} \Rightarrow \\ \hspace{6em} \cos{\varphi}=\frac{CD}{C_{1}D} \Rightarrow C_{1}D=\frac{CD}{\cos{\varphi}}=\frac{\frac{x\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{x}{6} \\ \hspace{6em} \sin{\varphi}=\frac{CC_{1}}{C_{1}D} \Rightarrow CC_{1}=C_{1}D\cdot{}\sin{\varphi}=\frac{x}{6}\cdot{}\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{x\sqrt{6}}{18} \\ \triangle{C_{1}CA} \cong \triangle{C_{1}CB} \begin{cases} \text{правоъгълни} \\ CC_{1}-\text{обща} \\ AC=BC \end{cases} \Rightarrow AC_{1}=BC_{1} \\ \triangle{ABC_{1}} \rightarrow AC_{1}=BC_{1} \Rightarrow C_{1}D=(h, l, m) \Rightarrow S_{ABC_{1}}=\frac{1}{2}\cdot{}AB\cdot{}C_{1}D \Leftrightarrow S=\frac{1}{2}\cdot{x}\cdot{\frac{x}{6}} \\ \Rightarrow x=\sqrt{12\cdot{S}} \Leftrightarrow \boxed{x=2\sqrt{3}\cdot{\sqrt{S}}} \\ CC_{1}=\frac{\sqrt{6}}{18}x=\frac{\sqrt{2}\cdot{\sqrt{3}}}{18}\cdot{}2\sqrt{3}\cdot{\sqrt{S}} =\frac{\sqrt{2}\cdot{\sqrt{S}}}{3} \\ B=\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}\cdot{\left( 2\sqrt{3}\cdot{\sqrt{S}}\right)^{2}}\cdot{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\cdot{S} \\ V=B\cdot{CC_{1}}=3\sqrt{3}\cdot{S}\cdot{\frac{\sqrt{2}\cdot{\sqrt{S}}}{3}}[/tex]$$ \boxed{V=\sqrt{6}\cdot{S}\cdot{\sqrt{S}}} $$

Проверете за грешки в преобразуванията, защото смятах директно в TEX редактора.

[S.B.]

Дадена е правилна триъгълна призма АВСА1В1С1. През основния ръб АВ и върха С1 е построена равнина, която сключва с основата АBC ъгъл, чийто косинус е равен на[tex]\frac {\sqrt{3}}{3}[/tex].
Лицето на сечението на призмата с тази равнина е ранно на S. Да се намери обемът на четириъгълната пиримида ABB1A1C1.

Без заглавие - 2024-03-06T145518.101.png (327.8 KiB) Прегледано 1481 пъти

Още един поглед върху задачата :

Нека основният ръб е $a$, а околният ръб е $h$ ,пирамидата е правилна и ако $M$ е средата на $AB$ то [tex]MC = \frac{a \sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]\angle MC C_{1 } = \varphi , \cos \varphi = \frac{ \sqrt{3} }{3} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{ \sqrt{6} }{3} , \tg \varphi = \sqrt{2}[/tex]

[tex]V_{AB B_{1 } A_{1 } C_{1 } } = \frac{ S_{AB B_{1 } A_{1 } } }{3}.MC \Leftrightarrow V_{AB B_{1 } A_{1 } C_{1 } } = \frac{a.h}{3}. \frac{a \sqrt{3} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow V_{AB A_{1 } B_{1 } C_{1 } } = a^{2 }h. \frac{ \sqrt{3} }{6}$$

От [tex]\triangle MC C_{1 } \rightarrow \displaystyle\frac{MC}{M C_{1 } } = \cos \varphi \Leftrightarrow\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a \sqrt{3} }{2} }{b} = \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{3} \Rightarrow b = \displaystyle \frac{3}{2}a[/tex]
От [tex]\triangle AB C_{1 } \rightarrow \frac{AB.M C_{1 } }{2} = S \Leftrightarrow \frac{ab}{2} = S \Leftrightarrow \frac{a}{2}. \frac{3}{2}a = S[/tex]
$$ a^{2 } = \frac{4}{3}S ,a = \frac{2 \sqrt{3S} }{3}$$

От [tex]\triangle MC C_{1 } \rightarrow \frac{C C_{1 } }{CM} = \tg \varphi \Leftrightarrow C C_{1 } = CM.\tg \varphi \Rightarrow h = \frac{a \sqrt{3} }{2} \sqrt{2} \Leftrightarrow h = \frac{a \sqrt{6} }{2} \Leftrightarrow h = \frac{2 \sqrt{3S} }{3}. \frac{ \sqrt{6} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow h = \sqrt{2S}$$
[tex]V_{AB B_{1 } A_{1 } C_{1 } } = a^{2 }h \frac{ \sqrt{3} }{6} \Leftrightarrow V_{AB A_{1 } B_{1 } C_{1 } } = \frac{4}{3}S. \sqrt{2S}. \frac{ \sqrt{3} }{6}[/tex]
$$\Rightarrow V_{AB B_{1 } A_{1 } C_{1 } } = \frac{2}{9} S \sqrt{6S} $$

[ammornil]

Забелажка: Записът [tex]...=(h, l, m)[/tex] да се чете като " е едновременно височина, ъглополовяща и медиана".

[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-03-06 113215.png (33.01 KiB) Прегледано 1470 пъти

[tex]\\ p(ABC)\|p(A_{1}B_{1}C_{1}) \\ AB=BC=AC=A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}=A_{1}C_{1} \\ AA_{1}\bot p(ABC), AA_{1}\|BB_{1}\|CC_{1} \\ AD=BD, \angle{C_{1}DC}=\varphi, \cos{\varphi}=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ S_{ABC_{1}}=S \\ \sin{\varphi}=\sqrt{1-\cos^{2}{\varphi}}=\frac{\sqrt{6}}{3} \\ \text{Нека } AB=x \\ \triangle{ABC} \rightarrow CD=(h,l,m) \Rightarrow CD=\frac{x\sqrt{3}}{2} \\ CC_{1}\bot p(ABC) \Rightarrow \angle{C_{1}CD}=90^{\circ} \Rightarrow \\ \hspace{6em} \cos{\varphi}=\frac{CD}{C_{1}D} \Rightarrow C_{1}D=\frac{CD}{\cos{\varphi}}=\frac{\frac{x\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\red{\frac{3x}{2}} \tiny{\text{ Коригирана изчислителна грешка (благодарение на S.B.)}}\normalsize{} \\ \hspace{6em} \sin{\varphi}=\frac{CC_{1}}{C_{1}D} \Rightarrow CC_{1}=C_{1}D\cdot{}\sin{\varphi}=\frac{3x}{2}\cdot{}\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{x\sqrt{6}}{2} \\ \triangle{C_{1}CA} \cong \triangle{C_{1}CB} \begin{cases} \text{правоъгълни} \\ CC_{1}-\text{обща} \\ AC=BC \end{cases} \Rightarrow AC_{1}=BC_{1} \\ \triangle{ABC_{1}} \rightarrow AC_{1}=BC_{1} \Rightarrow C_{1}D=(h, l, m) \Rightarrow S_{ABC_{1}}=\frac{1}{2}\cdot{}AB\cdot{}C_{1}D \Leftrightarrow S=\frac{1}{2}\cdot{x}\cdot{\frac{3x}{2}} \\ \Rightarrow x=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot{S}} \Leftrightarrow \boxed{x=\frac{2\sqrt{3}\cdot{\sqrt{S}}}{3}} \\ CD=\frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot{\frac{2\sqrt{3}\cdot{\sqrt{S}}}{3}}=\sqrt{S} \\ BB_{1}=CC_{1}=\frac{\sqrt{6}}{2}x=\frac{\sqrt{2}\cdot{\sqrt{3}}}{2}\cdot{}\frac{2\sqrt{3}\cdot{\sqrt{S}}}{3} =\sqrt{2}\cdot{\sqrt{S}} \\ B_{ABB_{1}A_{1}C_{1}}=AB\cdot{BB_{1}}=\frac{2\sqrt{3}\cdot{\sqrt{S}}}{3}\cdot{}\sqrt{2}\cdot{\sqrt{S}}=\frac{2}{3}\sqrt{6}\cdot{S} \\ V_{ABB_{1}A_{1}C_{1}}=\frac{1}{3}\cdot{B_{ABB_{1}A_{1}C_{1}}}\cdot{CD}=\frac{1}{3}\cdot{\frac{2}{3}\sqrt{6}\cdot{S}}\cdot{\sqrt{2}\cdot{\sqrt{S}}}[/tex]$$ \boxed{V=\frac{4}{9}\sqrt{3}\cdot{S}\cdot{\sqrt{S}}} $$