Пирамида

[Гост]

2 зад. В правилна четириъгълна пирамида ABCDV основните ръбове са равни на 6, а околните - 3sqrt(3) Намерете мярката на двустенния ъгъл между околните стени.
Моля ви обяснете ми задачата
Ако може подробно

[ammornil]

2 зад. В правилна четириъгълна пирамида ABCDV основните ръбове са равни на 6, а околните - 3sqrt(3) Намерете мярката на двустенния ъгъл между околните стени.
Моля ви обяснете ми задачата
Ако може подробно

Повече за връзките между елементите на правилна четириъгълна пирамида може да намерите ТУК[tex]\\ =(h,l,m) \text{ да се чете като "е височина, ъглополовяща и медиана"}[/tex]

Screenshot 2024-03-19 163417.png (29.29 KiB) Прегледано 1233 пъти

[tex]\\[/tex]За да намерите ъгълът между две равнини (стени) трябва да определите пресечницата (общата права) на равнините, да намерите две прави (по една във всяка равнина) които са перпендикулярни на пресечницата и пресичат пресечницата в една и съща точка. Ъгълът между тези две прави се нарича линеен на двустенния и неговата градусна мярка е търсената големина на ъгъла между равнините. Във вашия случай не е уточнено дали търсим само ъгълът между кои да е две съседни стени, или търсим и ъгълът между кои да е две срещулежащи страни. Допускам, че е само първото. Ако се търси и вторият ъгъл, ето такава задача решена тук.[tex]\\ AB=BC=CD=AD=6, \quad AV=BV=CV=DV=3\sqrt{3}\\ Q\in AD, \quad AQ=QD=3 \\ \triangle{ABC}: \quad AC^{2}=AB^{2}+BC^{2} \Rightarrow AC=6\sqrt{2} \\ \triangle{ADV}: \quad AV=DV \Rightarrow VQ=(h,l,m) \Rightarrow VQ\bot{AD} \\ \triangle{AQV}:\quad VQ^{2}=VA^{2}-AQ^{2} \Rightarrow VQ=\sqrt{18}=3\sqrt{2} \\ \quad AF\bot{VD} \Rightarrow \frac{AD\cdot{VQ}}{2}=\frac{VD\cdot{AF}}{2} \Rightarrow AF=\frac{AD\cdot{VQ}}{VD}=\frac{6\cdot{3\sqrt{2}}}{3\sqrt{3}}=2\sqrt{6} \\ \begin{cases} AD=CD \\ AV=CV \\ DV-\text{ обща} \end{cases} \Rightarrow \triangle{ADV}\cong\triangle{CDV} \Rightarrow \angle{VDA}=\angle{VDC} \\ \begin{cases} AD=CD \\ FD-\text{ обща} \\ \angle{VDA}=\angle{VDC} \end{cases} \Rightarrow \triangle{AFD}\cong\triangle{CFD} \Rightarrow \begin{cases} \angle{CFD}=\angle{AFD}=90^{\circ} \\ CF=AF=2\sqrt{6} \end{cases} \\[/tex] С последното, доказваме че за двете околни стени [tex]ADV[/tex] и [tex]CDV[/tex], отсечките [tex]AF[/tex] и [tex]CF[/tex] са перпендилулярни на пресечницата на стените [tex]VD[/tex], следователно ъгълът между тях е линеен на двустенния за тези стени, следователно това е търсеният ъгъл между две съседни стени на пирамидата. [tex]\angle{AFC}=\varphi \\ \triangle{ACF}:\quad AF=CF=2\sqrt{6}, AC=6\sqrt{2} \\ \quad \text{Кос.т-ма}:\quad AC^{2}=AF^{2}+CF^{2}-2\cdot{AF}\cdot{CF}\cdot{\cos{\varphi}} \\ \quad \Rightarrow \cos{\varphi}=\frac{AF^{2}+CF^{2}-AC^{2}}{2\cdot{AF}\cdot{CF}}=\frac{24+24-72}{2\cdot{24}}=-\frac{3}{4} \Rightarrow[/tex]$$ \varphi=\arccos{\left(-\frac{3}{4} \right)} $$