Пирамида

[Гост]

В основата на триъгълна пирамида е вписана окръжност с радиус 3 см. Околните стени на пирамидата сключват с основата равии ъгли с големина 60°. Да се намери височината на пирамидата.

[ammornil]

В основата на триъгълна пирамида е вписана окръжност с радиус 3 см. Околните стени на пирамидата сключват с основата равии ъгли с големина 60°. Да се намери височината на пирамидата.

Твърдение:
Ако околните стени сключват равни ъгли с равнината на основата, то върхът на пирамидата се проектира в центъра на вписаната в основата ѝ окръжност.
Доказателство:
Височината на пирамидата е перпендикулярна на равнината на основата по дефиниция. Построяваме апотемите в околните стени. Всяка апотема е перпендикулярна на основен ръб. Ако свържем петата на височината на пирамидата с петите на апотемите, то съгласно теорема за трите перпендикуляра тези отсечки са перпендикулярни на съответните основни ръбове. Всяка такава отсечка е равна на височината на пирамидата по котангенс от ъгъла между основата и съуответаната околна стена. Но понеже ъглите между всички околни стеи и основата са равни по условие, то и отсечките от петата на височината на пирамидата до петите на апотемите също са равни. Излиза, че петата на височината на пирамидата е равноотаделечена от страните на основата, следователно е център на вписаната в основата окръжност и отсечките от петата на височината на пирамидата до петите на апотемите са равни на радиуса на вписаната в основата окръжност.

Забележете, че твърдението е вярно незаивисимо от това каква е пирамидата, стига околните стени да сключват равни ъгли с равнината на основата.

От горното, следва че височината на пирамидата, когато околните ѝ стени сключват равни ъгли с основата, е [tex]H=r\cdot{\tg{\varphi}}[/tex], където [tex]H[/tex] е височината на пирамидата, [tex]r[/tex] е радиусът на вписаната в основата окръност, а [tex]\varphi[/tex] е ъгълът между околна стена и основа.

Скрит текст: покажи

[tex]H=3\cdot{\tg{60^{\circ}}}=3\cdot{\sqrt{3}}[/tex]