Сфера

[Гост]

Здравейте, бихте ли помогнали с тези две задачи за сфера?

1. Върху сфера са разположени три точки, разстоянието между които е 6, 8, 10. Радиусът на кълбото е 13. Намерете разстоянието от центъра на кълбото до равнината, определена от трите точки.

2. Страните на триъгълник са 13, 14, 15. Намерете разстоянието от равнината на триъгълника до центъра на сфера с радиус 5, която се допира до страните му.

[ammornil]

1. Върху сфера са разположени три точки, разстоянието между които е 6, 8, 10. Радиусът на кълбото е 13. Намерете разстоянието от центъра на кълбото до равнината, определена от трите точки.

[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-04-29 162903.png (24.62 KiB) Прегледано 147 пъти

[tex]\\AC=6, \quad BC=8, \quad AB=10, \quad AO=BO=CO=13 \\ AB^{2}=AC^{2}+BC^{2} \Rightarrow \angle{ACB}=90^{\circ} \\ OD\bot{p(ABC)} \text{ е търсеното разстояние от центъра на сфрата до равнината на трите точки.} \\ AO=BO=CO \Rightarrow AD=BD=CD=R_{on} \Rightarrow D\in{AB} \\ AD=BD=CD=\frac{AB}{2}=5 \\ CD^{2}+DO^{2}=OC^{2} \Rightarrow OD=\sqrt{OC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{144} \Rightarrow OD=12[/tex]

[ammornil]

2. Страните на триъгълник са 13, 14, 15. Намерете разстоянието от равнината на триъгълника до центъра на сфера с радиус 5, която се допира до страните му.

[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-04-29 164237.png (31.73 KiB) Прегледано 146 пъти

[tex]\\ABCO, AB=15, BC=14, AC=13 \\ \begin{array}{l} E\in{AC}, OE\bot{AC} \\ D\in{BC}, OD\bot{BC} \\ G\in{AB}, OG\bot{AB} \end{array}\\ OE=OD=OG=5 \\ OF\bot{p(ABC)} \\ \begin{cases} OE=OD=OG \\ OF\bot{p(ABC)} \end{cases} \Rightarrow FE=FD=FG \\ \begin{cases} OE\bot{AC}, OD\bot{BC}, OG\bot{AB} \\ FO\bot{AC}, FO\bot{BC}, FO\bot{BC} \end{cases} \rightarrow T3\bot{} \Rightarrow \begin{array}{|l} FE\bot{AC} \\ FD\bot{BC} \\ FG\bot{AB} \end{array} \Rightarrow FE=FD=FG=r_{вп.осн.} \\ p_{ABC}=\frac{AB+BC+AC}{2}=21 \\ S_{ABC}=\sqrt{p_{ABC}\cdot{(p_{ABC}-AC)}\cdot{(p_{ABC}-BC)}\cdot{(p_{ABC}-AB)}}=\sqrt{21\cdot{8}\cdot{7}\cdot{6}} \\ S_{ABC}=84 \\ S_{ABC}=p_{ABC}\cdot{r_{вп.осн.}} \Rightarrow r_{вп.осн.}=\frac{S_{ABC}}{p_{ABC}}=4 \\FE=4, OE=5 \Rightarrow OF=\sqrt{OE^{2}-FE^{2}}=3[/tex]$$ OF=3 $$