Сфера

[Гост]

Сфера се допира до страните на триъгълник със страни 15, 15 и 24. Разстоянието от центъра на сферата до върха на най-големия му ъгъл е 13 см. Намерете разстоянието от центъра на сферата до равнината на триъгълника.

[Гост]

Може ли да ми помогнете

Мисля си да я реша така ама не получавам отговора 12
Използвам че околните ръбове са равни и намирам радиуса на описаната окръжност

[ammornil]

Може ли да ми помогнете

Мисля си да я реша така ама не получавам отговора 12
Използвам че околните ръбове са равни и намирам радиуса на описаната окръжност

Не е вярно твърдението Ви. Не околните ръбове, а апотемите на околните стени са равни (радиуси в точките надопиране).

Сфера се допира до страните на триъгълник със страни 15, 15 и 24. Разстоянието от центъра на сферата до върха на най-големия му ъгъл е 13 см. Намерете разстоянието от центъра на сферата до равнината на триъгълника.

[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-04-29 125308.png (43.07 KiB) Прегледано 187 пъти

[tex]\\ ABCO \text{ пирамида}, O\notin{p(ABC)}, AC=BC=15, AB=24, OC=13 \\ N\in{AC}, P\in{BC}, Q\in{AC} \\ ON\bot{AB}, OP\bot{BC}, OQ\bot{AC} \\ ON=OP=OQ \\ OF\bot{p(ABC)} \Rightarrow \angle{OFN}=\angle{OFP}=\angle{OFQ}=90^{\circ} \Rightarrow OF \text{ е търсеното разстояние.} \\ \begin{cases} OF\bot{AB}, OF\bot{BC}, OF\bot{AC} \\ ON\bot{AB}, OP\bot{BC}, OQ\bot{AC} \end{cases} \Rightarrow T3\bot{} \quad FN\bot{AB}, FP\bot{BC}, FQ\bot{AC} \\ ON=OP=OQ \Rightarrow FN=FP=FQ \quad \text{ ортогоналните проекции на равни отсечки.} \\ \Rightarrow F \text{е център на вписаната окръжност в } \triangle{ABC} \\ \Rightarrow CN \text{ е ъглополовяща, медиана, височина} \Rightarrow N \text{ е среда на AB} \\ \begin{cases} OA \text{обща} \\ OQ=ON \\ \angle{OQA}=\angle{ONA} \end{cases} \Rightarrow \triangle{AQO}\cong\triangle{ANO} \Rightarrow AQ=AN=x \\ \text{аналогично: } BN=BP=y, CP=CQ=z \\ но AN=BN \Rightarrow x=y \\ \begin{array}{|l} 2x=24 \\ x+z=15 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x=12 \\ z=3 \end{array} \Rightarrow AQ=AN=BN=BP=12[cm], CQ=CP=3[cm] \\ CN\bot{AB} \Rightarrow CN^{2}+AN^{2}=AC^{2} \Rightarrow CN=\sqrt{AC^{2}-AN^{2}}=9[cm] \\ \triangle{CPO} \quad OP=\sqrt{CO^{2}-CP^{2}}=4\sqrt{10}[cm] \\ OP=OQ=ON=4\sqrt{10[cm]} \text{ радиуси на сферата в точките на допиране}. \\ \begin{array}{|l} CF^{2}+FO^{2}=CO^{2} \\FN^{2}+FO^{2}=ON^{2} \\ CF+FN=CN \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} CF^{2}+FO^{2}=169 \\FN^{2}+FO^{2}=160 \\ CF+FN=9 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} CF^{2}+FO^{2}=169 \\CF^{2}-FN^{2}=9 \\ CF+FN=9 \end{array} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{array}{|l} CF^{2}+FO^{2}=169 \\(CF-FN)(CF+FN)=9 \\ CF+FN=9 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} CF^{2}+FO^{2}=169 \\ CF-FN=1 \\ CF+FN=9 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} FO^{2}=169-25=144 \\FN=4 \\ CF=5 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} FO=12 \\FN=4 \\ CF=5 \end{array}[/tex]$$ FO=12[cm] $$


Забележка: най-голямата страна на триъгълника лежи срещу най-големия му ъгъл и обратното.
Забележка: [tex]F \in CN[/tex] защото през точка [tex]N[/tex] минава само една права, перпендикулярна на [tex]AB[/tex][/tex]

[ammornil]

Още една идея.
След като доказахме, че [tex]F \text{е център на вписаната окръжност в } \triangle{ABC} \Rightarrow FN=FP=FQ=r \\ p_{ABC}=\frac{AB+BC+AC}{2}=27 \\ S_{ABC}=\sqrt{p_{ABC}\cdot{(p_{ABC}-AB)}\cdot{(p_{ABC}-AC)}\cdot{(p_{ABC}-BC)}}=\sqrt{27\cdot{3}\cdot{12}\cdot{12}}=9\cdot{12}=108 \\ r=\frac{S_{ABC}}{p_{ABC}}=4 \\ CN=9 \Rightarrow CF=CN-r=5 \\ CF^{2}+OF^{2}=OC^{2} \Rightarrow OF=\sqrt{OC^{2}-CF^{2}}=12[/tex]