Триъгълна пирамида

[Гост]

Добър вечер, може ли да помогнете със тази задача?

[S.B.]

Добър вечер, може ли да помогнете със тази задача?

Без заглавие - 2024-05-10T175801.041.png (356.69 KiB) Прегледано 186 пъти

Първо ще построим отсечката ,която е разстоянието между околен и основен ръб.Тя трябва да бъде перпендикулярна и на основния ръб и на околния ръб.
Построявам [tex]AP \bot CD, BP \bot CD[/tex]
[tex]CD \bot (ABP) \Rightarrow CD \bot[/tex] на всяка права от равнината $(ABP)$
Построявам [tex]PM \bot AB[/tex], $PM$ е височина в равнобедрения [tex]\triangle ABP[/tex]
$PM$ е търсената отсечка ,защото [tex]PM \bot CD[/tex] тъй като принадлежи на равнината $(ABP)$ на която $CD$ е перпендикулярана , а едновременно с това [tex]MP \bot AB[/tex] като височина в равнобедрения [tex]\triangle ABP[/tex]
$$\Rightarrow PM = m$$
Нека $AB = a$, [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен [tex]\Rightarrow MC = \frac{a \sqrt{3} }{2}[/tex]
От [tex]\triangle MCP \rightarrow \frac{PM}{MC} = \sin \alpha \Leftrightarrow PM = MC.\sin \alpha \Leftrightarrow m = \frac{a \sqrt{3} }{2}\sin \alpha[/tex]
$$\Rightarrow a = \frac{2 \sqrt{3}m }{3\sin \alpha } $$
Околните ръбове сключват с равнината на основата равни ъгли [tex]\Rightarrow[/tex] върхът $D$ се проектира върху центъра на описаната около основата окръжност т.$H$.Тъй като основата е равностранен триъгълник ,$H$ съвпада с медицентъра и дели $MC$ отношение $2:1$
$DH = h$
От [tex]\triangle DHC \rightarrow \frac{DH}{HC}= \tg \alpha \Leftrightarrow DH = HC.\tg \alpha \Leftrightarrow h = \frac{a \sqrt{3} }{3}\tg \alpha \Leftrightarrow h = \frac{ \sqrt{3} }{3} \frac{2 \sqrt{3}m }{3\sin \alpha }\tg \alpha[/tex]
$$\Rightarrow h = \frac{2m}{3\cos \alpha } $$
$$ V_{ABCD } = \frac{ S_{ABC }.h }{3}$$
$$S_{ABC } = \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{4} $$
Изразихме $a$ и $h$ чрез $m$ и [tex]\alpha[/tex]
Заместваш във формулите и довършваш задачата.Успех!