Конус

[Гост]

Осно сечение на прав кръгов конус е триъгълник с ъгъл 45° във върха. Намерете радиуса на конуса, ако околната му повърхнина е [tex]\frac{ \pi \sqrt{4 + 2 \sqrt{2} } }{2}[/tex]

[peyo]

Осно сечение на прав кръгов конус е триъгълник с ъгъл 45° във върха. Намерете радиуса на конуса, ако околната му повърхнина е [tex]\frac{ \pi \sqrt{4 + 2 \sqrt{2} } }{2}[/tex]

$S=\pi r a = \frac{ \pi \sqrt{4 + 2 \sqrt{2} } }{2}$

$r a =\frac{ \sqrt{4 + 2 \sqrt{2} } }{2}$

Law of cosines:
[tex](2r)^2= a^2 + a^2 - 2a^2 cos(45 ^\circ )[/tex]

[tex]4r^2= 2a^2 - 2a^2 \sqrt 2/2[/tex]

[tex]2r^2= a^2(1 -\sqrt 2/2)[/tex]

[tex]\frac{r}{a}= \sqrt{ \frac{(2 -\sqrt {2} }{4}}[/tex]

Система от уравнения:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{r}{a}= \sqrt{ \frac{(2 -\sqrt {2} }{4}} \\ r a =\frac{ \sqrt{4 + 2 \sqrt{2} } } {2} \end{array}[/tex]

Решаваме я с компютър, защото никой не иска да се занимава с тези радикали на ръка.

In [60]: var("a,r")^M
...: print(latex(solve( [r/a- sqrt( (2 -sqrt (2))/4), r*a - ( sqrt(4 + 2 *sqrt(2) ) )/ 2])))
$\left[ \left\{ a : - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{2} + 4}}{2}, \ r : - \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}, \ \left\{ a : \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{2} + 4}}{2}, \ r : \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}\right]$

Даже 2 решения, едно от които отрицателно. То по-ми се струва правилното.