Конус

[Гост]

Здравейте, изпитвам затруднения с тази привидно лесна задача. Бихте ли помогнали? (Проблемът е, че се опитвам да направя система, но не ми се получава)

Намерете радиуса на основата и височината на конус, ако обемът е 432[tex]\pi[/tex], а лицето на околната повърхнина е 180[tex]\pi[/tex].

[ammornil]

Здравейте, изпитвам затруднения с тази привидно лесна задача. Бихте ли помогнали? (Проблемът е, че се опитвам да направя система, но не ми се получава)

Намерете радиуса на основата и височината на конус, ако обемът е 432[tex]\pi[/tex], а лицето на околната повърхнина е 180[tex]\pi[/tex].

допускаме, че това е прав кръгов конус, тоест върхът се проектира в центъра на основата. Тогава:[tex]\\ \begin{array}{|l} S=\pi\cdot{r}\cdot{l} \\ V=\frac{1}{3}\cdot{\pi}\cdot{r^{2}}\cdot{h} \\ l^{2}=h^{2}+r^{2}\end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} S=\pi\cdot{r}\cdot{l} \\ \frac{\normalsize{3\cdot{l}}}{\normalsize{r\cdot{h}}}=\frac{\normalsize{S}}{\normalsize{V}} \\ l^{2}=h^{2}+r^{2}\end{array}[/tex]

[Гост]

И аз успях да стигна дотук, но продължението ме затруднява. Пробвам да изразя всички елементи, но не се получава.

[ammornil]

[tex]\\ \begin{array}{|l} S=\pi\cdot{r}\cdot{l} \\ V=\frac{1}{3}\cdot{\pi}\cdot{r^{2}}\cdot{h} \\ l^{2}=h^{2}+r^{2}\end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} l=\frac{S}{\pi\cdot{r}} \\ h=\frac{3\cdot{V}}{\pi\cdot{r^{2}}} \\ \left(\frac{S}{\pi\cdot{r}}\right)^{2}=\left(\frac{3\cdot{V}}{\pi\cdot{r^{2}}}\right)^{2}+r^{2}\end{array} \\ \quad \\ \frac{S^{2}}{\pi^{2}\cdot{r^{2}}}=\frac{9\cdot{V^{2}}}{\pi^{2}\cdot{r^{4}}}+r^{2}\\ \quad \\ \quad r^{2}=x>0 \quad \Rightarrow \quad \frac{S^{2}}{\pi^{2}\cdot{x}}=\frac{9\cdot{V^{2}}}{\pi^{2}\cdot{x^{2}}}+x \\ \quad \\ S^{2}x=9V^{2}+\pi^{2}x^{3} \quad \Leftrightarrow \quad \pi^{2}x^{3}-180^{2}\pi^{2}x+9\cdot{}432^{2}\pi^{2} \quad |\div \pi^{2}\ne{0} \\ \Leftrightarrow \quad x^{3}-180^{2}x+2^{8}\cdot{3^{8}}=0[/tex]
Хорнер: [tex]x_{1}=144 \rightarrow x^{3}-180^{2}x+2^{8}\cdot{3^{8}}=(x-144)(x^{2}+144x-11664)=0 \\ \begin{array}{lclcl} x_{1}=144 & \cup & x_{1,2}=\frac{72\pm\sqrt{16848}}{1}=72\pm36\sqrt{13} \\ x_{1}=144 & \cup & x_{2}=36(2+\sqrt{13}) & \cup & x_{3} = 36(2+\sqrt{13}) < 0 \\ \begin{array}{|l} l=\frac{S}{\pi\cdot{r}} \\ h=\frac{3\cdot{V}}{\pi\cdot{r^{2}}} \\ r=12 \end{array} & \cup & \begin{array}{|l} l=\frac{S}{\pi\cdot{r}} \\ h=\frac{3\cdot{V}}{\pi\cdot{r^{2}}} \\ r=6\sqrt{2+\sqrt{13}} \end{array} \\ \quad \\ \begin{array}{|l} l=15 \\ h=9 \\ r=12 \end{array} & \cup & \begin{array}{|l} l=\frac{30}{\sqrt{2+\sqrt{13}}} \\ h=\frac{36}{2+\sqrt{13}} \\ r=6\sqrt{2+\sqrt{13}} \end{array}\end{array}[/tex]

Второто решение може да се рационализира още. Проверете сметките за грешки, защото смятах набързо и може да съм чукнал някоя цифра грешно на калкулатора или да съм я набрал грешно в LATEX.