Ъгъл между кръстосани прави

[Гост]

Даденa е права четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1. Основата и ABCD е ромб със страна 1 и ъгъл BAD = 60◦. Ако AA1 = 2 и точката E е средата на CC1, да се намери косинусът на ъгъла, определен от AE и BD1

Видях решение на тази задача с вектори и бих искал да попитам, как би могло да се реши задачата без вектори, евентуално чрез използване на ортогонални проекции/построяване на успоредни прави и т.н.? Благодаря предварително

[S.B.]

Даденa е права четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1. Основата и ABCD е ромб със страна 1 и ъгъл BAD = 60◦. Ако AA1 = 2 и точката E е средата на CC1, да се намери косинусът на ъгъла, определен от AE и BD1

Видях решение на тази задача с вектори и бих искал да попитам, как би могло да се реши задачата без вектори, евентуално чрез използване на ортогонални проекции/построяване на успоредни прави и т.н.? Благодаря предварително

Без заглавие - 2024-06-10T193332.344.png (311.43 KiB) Прегледано 862 пъти

Кръстосани прави са прави,които не лежат в една и съща равнина.Обикновено едната от тях лежи в равнината,а другата пробожда същата равнина.За да се определи ъгъла между двете кръстосани прави ,през пробода на правата,пробождаща равнината се построява права успоредна на правата лежаща в равнината.Така двете прави образуват една равнина, в която се намира ъгълът който се търси - а именно ъгълът между пробождащата права и правата успоредна на кръстосаната ѝ.

В нашият случай правата $AE$ лежи в равнината [tex]AC C_{1 } A_{1 }[/tex], а правата [tex]BD_{1 }[/tex] я пробожда в т.$O$ , която е пресечната точка на телесните диагонали на призмата:
[tex]AC_{1 } \cap B D_{1 } = O[/tex]
Построявам права :[tex]\begin{cases} MN z O \\ MN || AE \end{cases}[/tex]
За [tex]\triangle AE C_{1 }[/tex] :[tex]\begin{cases} AO = OC_{1 } \\ ON || AE \end{cases} \Rightarrow ON = \frac{AE}{2}[/tex] (като средна отсечка)

От ромба $ABCD$ ,където $AB = BC = 1 $ ,[tex]\angle BAD = 60 ^\circ \Rightarrow \angle ABC = 120 ^\circ[/tex] прилагайки последователно Косинусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle BAD[/tex] намирам : [tex]AC = \sqrt{3} , BD = 1[/tex]
За [tex]\triangle ACE[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам [tex]AE = 2 \Rightarrow OM = ON = 1[/tex] (Защо $OM= ON ?$)
Търсеният ъгъл е [tex]\angle MOB = \varphi[/tex] и неговият съседен [tex]\angle BON = 180 ^\circ - \varphi[/tex]
За [tex]\triangle BD D_{1 }[/tex] прилагам Питагорова теорема и намирам [tex]D_{1 }B = \sqrt{3} \Rightarrow OB = \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
Последователно за [tex]\triangle ABM[/tex] и [tex]\triangle BCN[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам:[tex]BM = \frac{ \sqrt{5} }{2}[/tex] и [tex]BN = \frac{ \sqrt{13} }{2}[/tex] (Оставям на вас да отговорите защо [tex]AM = \frac{1}{2}[/tex] и [tex]CN = \frac{3}{2}[/tex]
За [tex]\triangle MBO[/tex] прилагам Косинусова теорема и намирам [tex]\cos \varphi = \frac{ \sqrt{5} }{5}[/tex]
За [tex]\triangle NBO[/tex] прилагам Косинусова теорема и получавам [tex]\cos (180 ^\circ - \varphi) = - \frac{ \sqrt{5} }{5}[/tex]

[Гост]

Благодаря много!

[Гост]

А разстоянието между кръстосаните прави как ще се намери

[Гост]

Даденa е права четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1. Основата и ABCD е ромб със страна 1 и ъгъл BAD = 60◦. Ако AA1 = 2 и точката E е средата на CC1, да се намери косинусът на ъгъла, определен от AE и BD1

Видях решение на тази задача с вектори и бих искал да попитам, как би могло да се реши задачата без вектори, евентуално чрез използване на ортогонални проекции/построяване на успоредни прави и т.н.? Благодаря предварително

Без заглавие - 2024-06-10T193332.344.png

Кръстосани прави са прави,които не лежат в една и съща равнина.Обикновено едната от тях лежи в равнината,а другата пробожда същата равнина.За да се определи ъгъла между двете кръстосани прави ,през пробода на правата,пробождаща равнината се построява права успоредна на правата лежаща в равнината.Така двете прави образуват една равнина, в която се намира ъгълът който се търси - а именно ъгълът между пробождащата права и правата успоредна на кръстосаната ѝ.

В нашият случай правата $AE$ лежи в равнината [tex]AC C_{1 } A_{1 }[/tex], а правата [tex]BD_{1 }[/tex] я пробожда в т.$O$ , която е пресечната точка на телесните диагонали на призмата:
[tex]AC_{1 } \cap B D_{1 } = O[/tex]
Построявам права :[tex]\begin{cases} MN z O \\ MN || AE \end{cases}[/tex]
За [tex]\triangle AE C_{1 }[/tex] :[tex]\begin{cases} AO = OC_{1 } \\ ON || AE \end{cases} \Rightarrow ON = \frac{AE}{2}[/tex] (като средна отсечка)

От ромба $ABCD$ ,където $AB = BC = 1 $ ,[tex]\angle BAD = 60 ^\circ \Rightarrow \angle ABC = 120 ^\circ[/tex] прилагайки последователно Косинусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle BAD[/tex] намирам : [tex]AC = \sqrt{3} , BD = 1[/tex]
За [tex]\triangle ACE[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам [tex]AE = 2 \Rightarrow OM = ON = 1[/tex] (Защо $OM= ON ?$)
Търсеният ъгъл е [tex]\angle MOB = \varphi[/tex] и неговият съседен [tex]\angle BON = 180 ^\circ - \varphi[/tex]
За [tex]\triangle BD D_{1 }[/tex] прилагам Питагорова теорема и намирам [tex]D_{1 }B = \sqrt{3} \Rightarrow OB = \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
Последователно за [tex]\triangle ABM[/tex] и [tex]\triangle BCN[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам:[tex]BM = \frac{ \sqrt{5} }{2}[/tex] и [tex]BN = \frac{ \sqrt{13} }{2}[/tex] (Оставям на вас да отговорите защо [tex]AM = \frac{1}{2}[/tex] и [tex]CN = \frac{3}{2}[/tex]
За [tex]\triangle MBO[/tex] прилагам Косинусова теорема и намирам [tex]\cos \varphi = \frac{ \sqrt{5} }{5}[/tex]
За [tex]\triangle NBO[/tex] прилагам Косинусова теорема и получавам [tex]\cos (180 ^\circ - \varphi) = - \frac{ \sqrt{5} }{5}[/tex]

Привет !
За ъгъла добре но ако искаме разстоянието между тези 2 прави как ще го намерим ?????

[Гост]

Векторно го смятам и поручавам 3[tex]\sqrt{10}[/tex]/10

По другия начин как може да се сметне

[Гост]

Векторно го смятам и поручавам 3[tex]\sqrt{10}[/tex]/10

По другия начин как може да се сметне

Трябва да построиш трансверзалата на двете кръстосани прави и да изчислиш дължината ѝ.(Това е отсечката,която е пепендикулярна и на двете прави).

[Гост]

Да това го знам
Но не виждам коя отсечка ще е перпендикулярна и на двете ?
Интересно ми е как ще стане

[Гост]

И не могах да намеря такава отсечка която е перпендикулярна и на двете

Може ли помощ

[S.B.]

Вижте тук

[Гост]

Да видях но не се сещам коя ще е тази права перпендикулярна и на двете

[Гост]

Много време се опитвах

[S.B.]

Да видях но не се сещам коя ще е тази права перпендикулярна и на двете

Струва ми се ,че това е допълнително зададено условие след ъгъла между двете прави.В тази призма мисля,че ще бъде много трудно,почти невъзможно.Вижте линка който е дал колегата ptj на края на темата.

[Гост]

Да така е


/ имам една задача в 12 клас там я пуснах пак е за разстояния/ но е Ромб може ли да я погреднете

[S.B.]

Да така е


/ имам една задача в 12 клас там я пуснах пак е за разстояния/ но е Ромб може ли да я погреднете

Ще я погледна,но не сега.Може би утре ще имам време,за да я видя на спокойствие.(Ако някой колега не я реши до тогава!)

[Гост]

Да така е


/ имам една задача в 12 клас там я пуснах пак е за разстояния/ но е Ромб може ли да я погреднете

Че то и тука е ромб. Чети условието като хората!

[Гост]

Да има

[Гост]

Абсурд! Само с вектори.Имаш готова векторна база.