Пирамида

[Гост]

Дадена е четириъгълна пирамида АBCDM с връх М. Основата е ромб с остър ъгъл [tex]\beta[/tex]. Височината на пирамидата е равна на h. Околните стени образуват ъгъла [tex]\alpha[/tex] с основата на пирамидата. Да се намери основният ръб на пирамидата.

[S.B.]

Дадена е четириъгълна пирамида АBCDM с връх М. Основата е ромб с остър ъгъл [tex]\beta[/tex]. Височината на пирамидата е равна на h. Околните стени образуват ъгъла [tex]\alpha[/tex] с основата на пирамидата. Да се намери основният ръб на пирамидата.

Без заглавие - 2024-06-12T100356.947.png (245.1 KiB) Прегледано 146 пъти

Щом околните стени сключват с равнината на основата равни ъгли [tex]\alpha[/tex],върхът на пирамидата $M$ се проектира върху центъра на вписаната в основата окръжност т. $O$ ,която е пресечна точка на диагоналите на ромба $ABCD$
Нека основният ръб на пирамидата е [tex]a \ne 0[/tex], [tex]OM \bot (ABCD),OM = h[/tex] ,[tex]OK \bot BC ,OK= r[/tex] е радиусът на вписаната окръжност.
[tex]\angle BAD = \beta \in (0 ; \frac{ \pi }{2}) , \angle MKO = \alpha \in (0; \frac{ \pi }{2})[/tex]

От правоъгълния [tex]\triangle OKM \rightarrow \frac{OK}{OM} = \cotg \angle MKO \Leftrightarrow \frac{r}{h} = \cotg \alpha \Rightarrow r = h\cotg \alpha[/tex]

[tex]\begin{cases} S_{ABCD } = a^{2 }\sin \beta \\ S_{ABCD } = p.r \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} S_{ABCD } = a^{2 }.\sin \beta \\ S_{ABCD } = 2a.r \end{cases} \Leftrightarrow a^{2 } .\sin \beta = 2a.r \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow a^{2 }\sin \beta = 2a.h\cotg \alpha \Leftrightarrow a^{2 }.\sin \beta - 2a.h\cotg \alpha= 0 \Leftrightarrow a(a.\sin \beta -2h\cotg \alpha ) = 0[/tex]
[tex]a \ne 0 \Rightarrow a.\sin \beta - 2h.\cotg \alpha = 0[/tex]
$$\Rightarrow a = \frac{2h.\cotg \alpha }{\sin \beta } $$