Четириъгълна пирамида

[Гост]

Добър вечер, бихте ли помогнали с тази задача?

Дадена е четириъгълна пирамида MABCD с основа правоъгълник ABCD, със страни АВ=4 и ВС= 1. Околният ръб MD е перпендикулярен на равнината на основата и ъгълът между равнините (МАВ) и (ABCD) е два пъти по-голям от ъгъла между равнините (МВС) и (ABCD).
А) намерете обема на пирамидата
Б) през върха D е построена равнина гама, успоредна на АС. Постройте сечението на гама с пирамидата МАВСD и намерете лицето му.

[Гост]

Може ли помощ

[Гост]

Добър вечер, бихте ли помогнали с тази задача?

Б) през върха D е построена равнина гама, успоредна на АС. Постройте сечението на гама с пирамидата МАВСD и намерете лицето му.

През върха [tex]D[/tex] и успоредна на [tex]AC[/tex] може да се построи права ,но не и равнина.Трабва още нещо за да се построи равнина.

[S.B.]

Добър вечер, бихте ли помогнали с тази задача?

Дадена е четириъгълна пирамида MABCD с основа правоъгълник ABCD, със страни АВ=4 и ВС= 1. Околният ръб MD е перпендикулярен на равнината на основата и ъгълът между равнините (МАВ) и (ABCD) е два пъти по-голям от ъгъла между равнините (МВС) и (ABCD).
А) намерете обема на пирамидата
Б) през върха D е построена равнина гама, успоредна на АС. Постройте сечението на гама с пирамидата МАВСD и намерете лицето му.

Без заглавие - 2024-06-16T102438.411.png (186.73 KiB) Прегледано 187 пъти

А)
[tex]\begin{cases} DM \bot (ABCD)\\ \angle (ABM),(ABCD) = 2 \angle (BCM),(ABCD)\end{cases}[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle MAD = 2 \angle MCD[/tex]
Нека $MD = h$ , [tex]\angle MAD = 2 \alpha , \angle MCD = \alpha , 2 \alpha \in (0; \frac{ \pi }{2}) \Leftrightarrow \alpha \in (0; \frac{ \pi }{4} )[/tex]

От правоъгълния [tex]\triangle CDM \rightarrow \tg \alpha = \frac{h}{CD} \Leftrightarrow \tg \alpha = \frac{h}{4} \Rightarrow h = 4\tg \alpha[/tex]

От правоъгълния [tex]\triangle ADM \rightarrow \tg 2 \alpha = \frac{h}{AD} \Leftrightarrow \tg 2 \alpha = \frac{h}{1} \Rightarrow h = \tg 2 \alpha[/tex]
$$\Rightarrow \tg 2 \alpha = 4\tg \alpha $$

[tex]\tg 2 \alpha = 4\tg \alpha \Leftrightarrow \frac{\sin 2 \alpha }{\cos 2 \alpha } = \frac{4\sin \alpha }{\cos \alpha }... \Leftrightarrow \frac{\cos \alpha }{2 \cos^{2 } \alpha - 1 } = \frac{2}{\cos \alpha } ...\Leftrightarrow 3 \cos^{2 } \alpha - 2 = 0[/tex]
[tex]\Rightarrow \cos \alpha = \frac{ \sqrt{6} }{3}, \sin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{3} \Rightarrow \tg \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]
По горе получихме, че [tex]h = 4\tg \alpha \Rightarrow h = 4. \frac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow h = 2 \sqrt{2}[/tex]
[tex]V_{MABCD } = \frac{ S_{ABCD }.h }{3} = \frac{4.2 \sqrt{2} }{3}[/tex]
$$\Rightarrow V_{MABCD } = \frac{8 \sqrt{2} }{3} $$

Б) Условието е непълно.Според това условие не е възможно да се построи равнината [tex]\gamma[/tex] само по една точка и да бъде успоредна на една права.Трябва още нещо.