Прав кръгов конус

[Гост]

Не мога да реша задачата. Прав кръгов конус има ъгъл при върха на осното сечение, равен на 2α и сума от дължините
на височината и образуващата, равна на a. Намерете повърхнината и обема на конуса.
(Резултатът да се приведе във вид на произведение.)

[ammornil]

Не мога да реша задачата. Прав кръгов конус има ъгъл при върха на осното сечение, равен на 2α и сума от дължините
на височината и образуващата, равна на a. Намерете повърхнината и обема на конуса.
(Резултатът да се приведе във вид на произведение.)

[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-06-27 121922.png (19.14 KiB) Прегледано 354 пъти

[tex]\\ \angle{AFB} =2 \cdot{\alpha} \in (0^{\circ};180^{\circ}) \Rightarrow \alpha \in (0^{\circ};90^{\circ}) \Rightarrow \begin{cases} \sin{\alpha} > 0 \\ \cos{\alpha} > 0 \end{cases} \\ \quad \sin{\alpha}=\sqrt{\frac{1-\cos{2\alpha}}{2}}, \quad \quad \cos{\alpha}=\sqrt{\frac{1+\cos{2\alpha}}{2}} \\l+H=a, \quad \frac{H}{l}=\cos{\alpha}, \quad \frac{r}{l}=\sin{\alpha}\\[/tex] При така записаната задача, можете ли да я решите оттук?

Скрит текст: покажи

[tex]l=a-H \\ H=l\cdot{}\cos{\alpha} \Leftrightarrow H=(a-H)\cdot{}\cos{\alpha} \Leftrightarrow (1+\cos{\alpha})\cdot{H}=a\cdot{}\cos{\alpha} \\ \quad[/tex] $$ \boxed{ \quad H=\frac{a\cdot{}\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}\quad }$$[tex]\\ l=a-H \Leftrightarrow l=a-\frac{a\cdot{}\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}} \Leftrightarrow l=\frac{1+a\cdot{}\cos{\alpha}-a\cdot{}\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}[/tex]$$ \boxed{ \quad l=\frac{a}{1+\cos{\alpha}}\quad } $$[tex]\\ r=l\cdot{\sin{\alpha}} \Leftrightarrow[/tex]$$ \boxed{ \quad r=\frac{a\cdot{\sin{\alpha}}}{1+\cos{\alpha}}\quad } $$[tex]\\ B=\pi\cdot{}r^{2}=\frac{a^{2}\cdot{\sin^{2}{\alpha}}}{(1+\cos{\alpha})^{2}}\cdot{}\pi \\ S=\pi\cdot{r}\cdot{}l=\frac{a\cdot{\sin{\alpha}}}{1+\cos{\alpha}}\cdot{}\frac{a}{1+\cos{\alpha}}\cdot{}\pi=\frac{a^{2}\cdot{\sin{\alpha}}}{(1+\cos{\alpha})^{2}}\cdot{}\pi \\ S_{1}=S+B=\frac{a^{2}\cdot{\sin{\alpha}}}{(1+\cos{\alpha})^{2}}\cdot{}\pi+\frac{a^{2}\cdot{\sin^{2}{\alpha}}}{(1+\cos{\alpha})^{2}}\cdot{}\pi=\frac{a^{2}\cdot{\sin{\alpha}}\cdot{}(1+\sin{\alpha})}{(1+\cos{\alpha})^{2}}\cdot{}\pi \\ V=\frac{1}{3}\cdot{B}\cdot{H}=\frac{1}{3}\cdot{}\frac{a^{2}\cdot{\sin^{2}{\alpha}}}{(1+\cos{\alpha})^{2}}\cdot{}\pi\cdot{}\frac{a\cdot{}\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}=\frac{a^{3}\cdot{\sin^{2}{\alpha}}\cdot{}\cos{\alpha}}{3\cdot{}(1+\cos{\alpha})^{3}}\cdot{}\pi[/tex]

[Yasemin]

И аз започнах така, но отговорът ми не съвпада с този в учебника

[ammornil]

Поради наличието на тригонометрични функции, отговорите могат да изглеждат различно в зависимост от направение преобразувания. Възможно е в учебника отговорът да е даден чрез удвоения ъгъл, който е в условието, или чрез половинката на [tex]\alpha[/tex] за редуциране множители от сборове и разлики към чисти произведения. Възможно е и някъде в преобразуванията да съм допуснал грешка, моля прегледайте за такава.

[tex]1+\sin{\alpha}=\left(\sin{\frac{\alpha}{2}}+\cos{\frac{\alpha}{2}}\right)^{2} \\1+\cos{\alpha}=2\cdot{}\sin^{2}{\frac{\alpha}{2}} \\ \sin{\alpha}=2\cdot{\sin{\frac{\alpha}{2}}}\cdot{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \\ \cos{\alpha}=1-2\cdot{}\sin^{2}{\frac{\alpha}{2}}[/tex]

[Yasemin]

Дори да ги използвам не мога да получа отговора. Сигурно сгреших някъде. Аз получавам [tex]\frac{a^{2 } \pi 3 (sin \alpha)^{2 } }{4 (sin \frac{ \alpha }{2} )^{4} }[/tex]

[S.B.]

Не мога да реша задачата. Прав кръгов конус има ъгъл при върха на осното сечение, равен на 2α и сума от дължините
на височината и образуващата, равна на a. Намерете повърхнината и обема на конуса.
(Резултатът да се приведе във вид на произведение.)

Без заглавие - 2024-06-29T205826.792.png (208.46 KiB) Прегледано 302 пъти

От [tex]\triangle HBC:[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} h + l = a \\ \displaystyle\frac{h}{l} = \cos \alpha \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} h = a - l \\ h = l\cos \alpha \end{array} \Rightarrow a - l = l\cos \alpha \Leftrightarrow a = l( 1 + \cos \alpha) \Leftrightarrow a = 2l \cos^{2 }\displaystyle \frac{ \alpha }{2}[/tex]
$$\Rightarrow l = \frac{a}{2 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} } $$
[tex]h = l\cos \alpha \Leftrightarrow h = \frac{a}{2 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} }.\cos \alpha[/tex]
$$\Rightarrow h = \frac{a\cos \alpha }{2 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} } $$
[tex]\frac{r}{l} = \sin \alpha \Leftrightarrow r = l\sin \alpha[/tex]
$$\Rightarrow r = \frac{a\sin \alpha }{2 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} } $$

[tex]S_{1 } = \pi r^{2 } + \pi rl \Leftrightarrow S_{1 } = \pi r ( r + l) \Leftrightarrow[/tex]

[tex]S_{1 } = \frac{ \pi a.\sin \alpha }{2 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} } . ( \frac{a\sin \alpha + a }{2 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} } )= \frac{ \pi a^{2 }\sin \alpha }{4 \cos^{4 } \frac{ \alpha }{2} } .(\sin \alpha + 1) = \frac{ \pi a^{2 }.\sin \alpha }{4 \cos^{4 } \frac{ \alpha }{2} }.(\sin \alpha + \sin \frac{ \pi }{2}) =[/tex]

[tex]= \displaystyle\frac{ \pi a^{2 }.\sin \alpha }{4 \cos^{4 } \displaystyle\frac{ \alpha }{2} } (2\sin \displaystyle \frac{ \alpha + \frac{ \pi }{2} }{2} .\cos \frac{ \alpha - \frac{ \pi }{2} }{2}) =[/tex]

[tex]= \frac{ \pi a^{2 } \sin \alpha }{2 \cos^{4 } \frac{ \alpha }{2} } .\sin ( \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \pi }{4}).\cos ( \frac{ \alpha }{2} - \frac{ \pi }{4}) = \frac{ \pi a^{2 }\sin \alpha }{2 \cos^{4 } \frac{ \alpha }{2} }.\cos[ \frac{ \pi }{2} - ( \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \pi }{4})].\cos( \frac{ \alpha }{2} - \frac{ \pi }{4})=[/tex]

[tex]= \frac{ \pi a^{2 }\sin \alpha }{2 \cos^{4 } \frac{ \alpha }{2} }.\cos ( \frac{ \pi }{4}- \frac{ \alpha }{2} )\cos ( \frac{ \alpha }{2}- \frac{ \pi }{4}) =[/tex]

Скрит текст: покажи

Използвам,че косинусът е четна функция и [tex]\cos(- \varphi) = \cos \varphi[/tex]

[tex]= \frac{ \pi a^{2 }.2\sin \frac{ \alpha }{2}.\cos \frac{ \alpha }{2} }{2 \cos^{4 } \frac{ \alpha }{2} }. \cos^{2 }( \frac{ \pi }{4} - \frac{ \alpha }{2} ) = \frac{ \pi a^{2 }\sin \frac{ \alpha }{2}. \cos^{2 }( \frac{ \pi }{4} - \frac{ \alpha }{2}) }{ \cos^{3 } \frac{ \alpha }{2} } =[/tex]
$$= \frac{ \pi a^{2 }\tg \frac{ \alpha }{2}. \cos^{2 }( \frac{ \pi }{4} - \frac{ \alpha }{2}) }{ \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} }$$

[tex]V = \frac{ \pi r^{2 }.h }{3} =....[/tex] (Замествате и мисля, че няма да имате проблем)