Правилна триъгълна пирамида

[Yasemin]

В правилна триъгълна пирамида големината на ъгъла между два пресичащи се ръба околен и основен, е а. Радиусът на вписаната в основата окръжност е r. Намерете повърхнината на пирамидата (Резултатът да се приведе във вид на произведение).
Получавам [tex]\frac{6r x^{2 } \sqrt{3}cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} }{cos \alpha }[/tex], но отговорът е [tex]\frac{6r x^{2 } \sqrt{3}sin( \alpha + \frac{ \pi }{6} )}{cos \alpha }[/tex]

[Евва]

Задачата не е трудна .
Пратете решението си ,ние ще посочим грешката .

Аз получих [tex]S_{1 } = \frac{6 \sqrt{3} r^{2 }sin( \alpha + \frac{ \pi }{6}) }{cos \alpha }[/tex]

[Гост]

[tex]S_{1 } = S + B = \frac{B}{cos \alpha } + B = \frac{B(1 + cos \alpha)}{cos \alpha } = \frac{3r^{2 } \sqrt{3}2cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} }{cos \alpha \alpha } = \frac{6r^{2 } \sqrt{3}cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} }{cos \alpha \alpha }[/tex]

[ptj]

Формулата, която използвате, се отнася за мярка на двустенен ъгъл между околна стена и основа, докато ъгъла даден в условието, е между околен и основен ръбове.

[Евва]

ABCD -правилна триъгълна пирамида , [tex]\angle[/tex]BCD=[tex]\alpha[/tex] и т.М -среда на страната ВС
K(O ;r) -вписана в [tex]\triangle[/tex]ABC
Да означим основен ръб - b и апотема - k .
b=? k=? [tex]S_{1 }[/tex]=?

Доказано е ,че за равностранен тр-к b=2[tex]\sqrt{3}[/tex]r (1)

([tex]\triangle[/tex]MCD -правоъгълен) tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{k}{ \frac{b}{2} } = \frac{2k}{b}[/tex] ; k=[tex]\frac{b.tg \alpha }{2}[/tex] (ползваме (1)) k=[tex]\sqrt{3}[/tex]rtg[tex]\alpha[/tex] (2)

[tex]S_{1 }= S+B =3. \frac{bk}{2} + \frac{ b^{2 } \sqrt{3} }{4}[/tex]

[tex]S_{1 } =3. \frac{2 \sqrt{3}r \sqrt{3}rtg \alpha }{2} + \frac{12 r^{2 } \sqrt{3} }{4}[/tex]=

= [tex]9 r^{2 }tg \alpha +3 \sqrt{3} r^{2 }[/tex]=

=[tex]3 r^{2 }( \frac{3sin \alpha }{cos \alpha } + \sqrt{3} )[/tex]=

=3[tex]r^{2 } . \frac{3sin \alpha + \sqrt{3}cos \alpha }{cos \alpha }[/tex]=

=[tex]3 r^{2 } \sqrt{3}. \frac{ \sqrt{3}sin \alpha +cos \alpha }{cos \alpha }[/tex]=

=[tex]3 \sqrt{3} r^{2 }2. \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{2 }sin \alpha + \frac{1}{2}cos \alpha }{cos \alpha }[/tex]

В числителя виждаме формула .

[tex]S_{1 } = \frac{6 \sqrt{3} r^{2 }sin( \alpha+ \frac{ \pi }{6}) }{cos \alpha }[/tex]