Правилна четириъгълна пирамида

[Yasemin]

Всички ръбове на правилна четириъгълна пирамида ABCDM с основа ABCD са с дължина l. Ако Р е среда на МС, а Q е среда на АВ, намерете разстоянието между правите МQ и ВР.

[ptj]

Нека [tex]\vec {CM}=\vec c, \vec {CB}=\vec b, \vec {BA}=\vec a[/tex].

Понеже по-късно ще използвам скаларно произведение ще запиша няколко равенства:

[tex]\vec a. \vec c=|\vec a|.|\vec c| .cos (60 ^\circ)= \frac{l^2}{2}[/tex]

[tex]\vec a. \vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos( 90 ^\circ )=0[/tex]

[tex]\vec b. \vec c=|\vec b|.|\vec c|.cos (60 ^\circ )= \frac{l^2}{2}[/tex]

[tex]\vec {CP}=\vec{PC}+\vec {CB}+\vec {BQ}= -\frac{1}{2} \vec c+\vec b+ \frac{1}{2} \vec a[/tex]

[tex]CP^2=(\vec {CP})^2=(-\frac{1}{2} \vec c+\vec b+ \frac{1}{2} \vec a)(-\frac{1}{2} \vec c+\vec b+ \frac{1}{2} \vec a)=[/tex]

[tex]= \frac{1}{4}(\vec c)^2+(\vec b)^2+ \frac{1}{4}(\vec a)^2 +2 \frac{-1}{2} \vec c. \vec b+2\frac{-1}{2}\vec c. \frac{1}{2} \vec a+2\vec b. \frac{1}{2}\vec a=[/tex]

[tex]= \frac{6}{4}l^2-\vec c. \vec b- \frac{1}{2}\vec c. \vec a+ \vec b.\vec a = \frac{6}{4}l^2- \frac{1}{4}l^2- \frac{1}{2}l^2= \frac{3}{4}l^2[/tex]

[tex]CP= \sqrt{ \frac{3}{4} l^2 }= \frac{ \sqrt{3} }{2}l[/tex]

Извинявам се, едва сега видях че се търси съвсем друго нещо.

[Yasemin]

В помагалото отговорът е [tex]d = \frac{ \sqrt{22} }{11}[/tex]

[ptj]

По принцип виждам два начина за решение:

1.)Стандартен - чрез построяване на ос-отсечката и намирането на нейната дължина, чрез връзките й други геометрични обекти.

2.)Чрез минаваме през обема на получения тетраедър (съотношение към обема на основния) и използване формулата за обем [tex]V= \frac{1}{6} a.b.d.sin(a,b)[/tex], където [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са кръстосани ръбове, [tex]d[/tex] дължината на ос-отсечката между тях, а [tex]\varphi[/tex] е ъгъла между тези ръбове.

П.П. Ако имам време по-късно ще напиша втория, защото е по-нестандартен.

[ptj]

[tex]V_{ABCDM}=2V_{ABCM}=4V_{QBCM}=8V_{QBCP}[/tex], сл. [tex]V_{QBPM}=\frac{1}{8}V_{ABCDM}[/tex].

Нека т.[tex]О[/tex] е среда на [tex]BD[/tex].

[tex]BD= \sqrt{2}l \Rightarrow BO= \frac{l}{ \sqrt{2} } \Rightarrow MO= \frac{l}{ \sqrt{2} }[/tex].

[tex]V_{ABCDM}= \frac{1}{3}l^2.MO= \frac{l^3}{3 \sqrt{2} } \Rightarrow V_{QBPM}= \frac{l^3}{24 \sqrt{2} }[/tex]

Ще използвам съшите базови вектори като в първото си мнение.

[tex]\vec {PB} =- \frac{1}{2} \vec c+\vec b[/tex]

[tex]\vec {MQ}=-\vec c+ \vec b+ \frac{1}{2}\vec a[/tex]

[tex]PB^2=(\vec {PB})^2=(- \frac{1}{2}\vec c + \vec b)^2= \frac{1}{4} c^2+b^2+ 2. \frac{-1}{2}\vec c . \vec b= \frac{l^2}{4}+l^2- \frac{l^2}{2}= \frac{3l^2}{2}[/tex],

т.е. [tex]PB= \frac{ \sqrt{3} }{2}l[/tex].

Същия резултат се получава директно от факта, че [tex]BP[/tex] е височина в равностранния [tex]\triangle BCM[/tex], но ви написах по-дългия вариант за да видите, че дължина на отсечка се намира лесно със скаларно произведение на вектори.

[tex]\triangle CBM \cong \triangle AMB \Rightarrow BP=MQ[/tex]

[tex]\vec{MQ}.\vec{PB}=( -\frac{1}{2}\vec c+\vec b)(-\vec c+\vec b+ \frac{1}{2}\vec a)=[/tex]

[tex]= \frac{1}{2}(\vec c)^2 - \frac{1}{2}\vec c.\vec b- \frac{1}{4}\vec c. \vec a-\vec b.\vec c+ (\vec b)^2+ \frac{1}{2}\vec b. \vec a=[/tex]

[tex]= \frac{1}{2}l^2- \frac{1}{4}l^2- \frac{1}{8}l^2- \frac{1}{2}l^2+l^2+0= \frac{5}{8}l^2[/tex]

[tex]\vec {MQ}.\vec {PB}=|\vec {MQ}|.|\vec {PB}|.cos(\vec {MP}, \vec {PB})[/tex]

[tex]\frac{5}{8}l^2= (\frac{ \sqrt{3} }{2}l)^2.cos \varphi \Rightarrow cos \varphi = \frac{5}{6} \Rightarrow sin \varphi = \frac{ \sqrt{11} }{6}[/tex].

Остана да заместим всичко намерено във формулата за обем:

[tex]\frac{l^3}{24 \sqrt{2} } =V_{QBPM}= \frac{1}{6}abd sin \varphi= \frac{1}{6}. (\frac{ \sqrt{3} }{2}l)^2.d. \frac{ \sqrt{11} }{6} \Rightarrow l= \sqrt{ \frac{11}{2} } d \Leftrightarrow d=l \sqrt{ \frac{2}{11} }= \frac{ l\sqrt{22} }{11}[/tex]