Куб

[Гост]

Не съм сигурен как да докажа, че сечението е ромб, затова моля за помощ. Благодаря!

[Евва]

Според мен сечението не е ромб ,а делтоид .
Може да се иползва форм. за лице на произволен четириъгълник S= [tex]\frac{ d_{1 } d_{2 } .sin \varphi }{2}[/tex] ,

като в тази задача [tex]\angle \varphi =90 ^\circ[/tex] .

[Гост]

Куб-page-001.jpg (115.78 KiB) Прегледано 176 пъти

[ptj]

Не съм сигурен как да докажа, че сечението е ромб, затова моля за помощ. Благодаря!

Използвай симетриите на куба (съответно спрямо [tex]QP[/tex] и [tex]AC_1[/tex]).

[S.B.]

Без заглавие - 2024-12-10T193444.818.png (238.12 KiB) Прегледано 151 пъти

Според условието за точките $P$ и $Q$ имаме:
[tex]\begin{cases} P \in B B_{1 }, Q \in D D_{1 } \\ PQ \bot A A_{1 } \\A A_{1 } ||B B_{1 } || D D_{1 } \end{cases} \Rightarrow PQ \bot B B_{1 } ,PQ \bot D D_{1 }[/tex]

Построявам равнината [tex](B B_{1 } D_{1 }D)[/tex]
[tex]\begin{cases} P \in B B_{1 } \\ Q \in D D_{1 } \end{cases} \Rightarrow PQ \in (B B_{1 } D_{1 }D)[/tex]
[tex]PQ \cap A C_{1 } = O \Rightarrow O \in (B B_{1 } D_{1 }D) \Rightarrow O[/tex] е пресечната точка на телесните диагонали на куба.
Построявам в равнината [tex](BB_{1 } D_{1 }D)[/tex]през т.$O$ права $l$ ,[tex]l \bot B B_{1 }[/tex]
[tex]l \cap B B_{1 } = P , l \cap D D_{1 } = Q[/tex]
$AC$ е проекцията на [tex]A C_{1 }[/tex] в равнината $(ABCD)$, [tex]AC \bot BD \Rightarrow A C_{1 } \bot BD[/tex]
(Според теоремата за трите перпендикуляра)
[tex]\begin{cases} BD \bot A A_{1 } \\ PQ \bot A A_{1 } \end{cases} \Rightarrow PQ || BD[/tex]
[tex]A C_{1 } \bot BD \Rightarrow A C_{1 } \bot PQ[/tex]
За да определя лицето на четириъгълника [tex]AP C_{1 }Q[/tex] прилагам формулата,според която лицето на четириъгълника е равно на полупроизведението от диагоналите му и синуса на ъгъла ,който те сключват:
[tex]S_{AP C_{1 }Q } = \frac{A C_{1 }.PQ }{2}.\sin \angle AOP[/tex]
[tex]AC_{1 } = \sqrt{3} ,PQ = BD = \sqrt{2},A C_{1 } \bot PQ \Rightarrow \sin \angle AOP = 90 ^\circ[/tex]
[tex]S_{AP C_{1 }Q } = \frac{ \sqrt{3} \sqrt{2} }{2} .\sin 90 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow S_{AP C_{1 }Q } = \frac{ \sqrt{6} }{2} cm^{2 } $$

[Гост]

Благодаря много за страхотните решения и подробните обяснения. Бъдете здрави.

[KOPMOPAH]

Лицето на основата е $1$, а то е равно на лицето на сечението, умножено по косинуса на ъгъла $CAC_1$ межу равнината на основата и равнината на сечението. Имаме:
$$S_{APC_1Q}\cdot \cos C_1AC=1,~~~~ \cos C_1AC=\frac{\sqrt 2}{\sqrt3}\Rightarrow S_{APC_1Q}=\frac 1{\frac{\sqrt 2}{\sqrt3}}=\cdots$$