Триъгълна призма

[Гост]

Здравейте. Имам затруднения с тази задачка.

[S.B.]

Здравейте. Имам затруднения с тази задачка.

Без заглавие - 2024-12-13T175240.873.png (492.97 KiB) Прегледано 118 пъти

[tex]ABC A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex] правилна призма.
Нека [tex]AB = BC = AC = 1 \Rightarrow A A_{1 } = B B_{1 } = C C_{1 } = 4[/tex]
[tex]P \in A A_{1 } , P \ne A ,P \ne A_{1 } ,AP < 4 , S_{BCP } = n. S_{BCA } , n -[/tex] естествено число
[tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен, [tex]AM \bot BC \Rightarrow AM = \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]

[tex]\displaystyle\frac{ S_{BCP } }{ S_{BCA } } = n \Leftrightarrow \displaystyle \frac{ \displaystyle\frac{BC.MP}{2} }{ \displaystyle\frac{BC.AM}{2} }= n \Leftrightarrow \displaystyle \frac{MP}{MA} = n \Rightarrow MP = n.MA[/tex]
$$\Rightarrow MP = n. \frac{ \sqrt{3} }{2} ,n \ne 1$$

Ще проверим за кои стойности на $n$ дължината на $AP < 4$

$$1) n = 2$$
За [tex]\triangle AMP[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AP = \sqrt{ MP^{2 } - MA^{2 } } = \sqrt{ (2. \frac{ \sqrt{3} }{2} )^{2 } - ( \frac{ \sqrt{3} }{2} )^{2 } } = \sqrt{3 - \frac{3}{4} } = \sqrt{ \frac{9}{4} }= \frac{3}{2} <4[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] за $n = 2 , AP < 4$

$$2) n = 3$$
[tex]AP = \sqrt{ MP^{2 } - MA^{2 } } = \sqrt{ (3 .\frac{ \sqrt{3} }{2}) ^{2 } - ( \frac{ \sqrt{3} }{2}) ^{2 } } = \sqrt{6}, 2< \sqrt{6} < 3 \Rightarrow AP < 4[/tex]
За $ n = 3 ,AP < 4$

$$ 3) n = 4$$
[tex]AP = \sqrt{ MP^{2 } - MA^{2 } } = \sqrt{ (4. \frac{ \sqrt{3} }{2}) ^{2 } - ( \frac{ \sqrt{3} }{2}) ^{2 } } = \frac{ \sqrt{45} }{2}< 3,5[/tex]
За $n = 4 , AP<4$
$$4) n = 5$$
[tex]AP = \sqrt{ ( \frac{5 \sqrt{3} }{2} )^{2 } - ( \frac{ \sqrt{3} }{2}) ^{2 } } = \frac{ \sqrt{72} }{2} = \frac{6 \sqrt{2} }{2} = 3 \sqrt{2} > 4[/tex]
За $ n = 5 ,AP >4$

Получихме,че възможните естствени числа за $n$ са :
$$n = 2,n = 3,n = 4$$