Стереометрична задача

[Гост]

Здравейте. Тези две задачки ме затрудняват. Благодаря за помощта!

[ptj]

18.) Най-лесно е с вектори:

Дефинираш ръбовете излизащи от един и същи връх като векторна база и изразяваш [tex]\vec {MN}, \vec {AB_1}, \vec{BC_1}[/tex] чрез тях.

После използваш, че скаларното произведение на 2 ненулеви вектора се нулира тогава и само тогава, когато те са перпендикулярни помежду си.

За последното условие използваш, че [tex]|\vec a|= \sqrt{\vec a^2}[/tex].

П.П. Два от базовите вектори ще са с ъгъл [tex]60 ^\circ[/tex] помежду си, а третия ще е перпендулярен и на двата от тях.

[ptj]

17.) Ако дадената редица има граница [tex]l[/tex], то то от формулата за общия член (след граничен преход) намираме:

[tex]l= \sqrt{l+2} \Leftrightarrow l^2=l+2 \Leftrightarrow (l-2)(l+1)=0[/tex].

Понеже дадената редица е с неотрицателни членове, то единствения възможен вариант за граница е [tex]l=2[/tex].

Очевидно е също, че тя няма да се достига.

Остава да покажем, че дадената редица е ограничена и растяща (т.е. монотонна).

[tex]a_{n+1}>a_n \Leftrightarrow \sqrt{a_n+2}>a_n \Leftrightarrow a_n+2>a_n^2 \Rightarrow a_n^2-a_n-2<0 \Leftrightarrow (a_n+1)(a_n-2)<0[/tex]

[tex]a_{n+1}<2 \Leftrightarrow \sqrt{a_n+2}<2 \Leftrightarrow a_n+2<4 \Leftrightarrow a_n<2[/tex].

В последните два реда получихме, че и двете искани от нас условия могат да се докажат с индукция по [tex]n[/tex], с което задачата е решена.

П.П. При дадената формула за общия член, задачата има същата граница за всяко [tex]-2 \le a_1 <2[/tex].