Здравейте.Може ли помощ с тази задача?

[MMia]

Основата на триъгълна пирамида е правоъгълен триъгълник с дължини на катетите а и b. Околният ръб на пирамидата, минаващ през върха на правия ъгъл, е перпендикулярен на равнината на основата и има дължина h. Разглеждаме множеството от правите призми, вписани в дадената пирамида така, че върховете при горната основа на всяка от тях лежат на околните ръбове на пирамидата, а върховете при долната основа в равнината на основата на пирамидата. Измежду всички тези призми да се намери онази, чийто обем е най-голям.


Благодаря предварително!

[S.B.]

Основата на триъгълна пирамида е правоъгълен триъгълник с дължини на катетите а и b. Околният ръб на пирамидата, минаващ през върха на правия ъгъл, е перпендикулярен на равнината на основата и има дължина h. Разглеждаме множеството от правите призми, вписани в дадената пирамида така, че върховете при горната основа на всяка от тях лежат на околните ръбове на пирамидата, а върховете при долната основа в равнината на основата на пирамидата. Измежду всички тези призми да се намери онази, чийто обем е най-голям.


Благодаря предварително!

Без заглавие - 2024-12-31T204727.389.png (226.9 KiB) Прегледано 210 пъти

Нека [tex]PQC P_{1 } Q_{1 }C[/tex] е една от вписаните по указаният начин прави призми.
[tex]P \in AC , Q \in BC , P_{1 } \in AM, Q_{1 } \in BM, C_{1 } \in CM[/tex]
[tex]P P_{1 } ||Q Q_{1 } || C C_{1 }[/tex]

[tex]\triangle C_{1 } Q_{1 }M \approx \triangle CBM[/tex]
[tex]\frac{ C_{1 } Q_{1 } }{CB} = \frac{ C_{1 } M }{CM} = k \Leftrightarrow C_{1 } Q_{1 } = k.CB , C_{1 }M = k.CM[/tex]
Аналогично [tex]\triangle ACM \approx \triangle P_{1 } C_{1 }M[/tex] и [tex]P_{1 } C_{1 } = k.AC[/tex]
Тогава [tex]\triangle ABC \approx \triangle P_{1 } C_{1 } Q_{1 }[/tex] с коефициент на подобие $=k$
[tex]\Rightarrow \frac{ S_{ P_{1 } C_{1 } Q_{1 } } }{ S_{ABC } } = k^{2 } \Leftrightarrow S_{ P_{1 } C_{1 } Q_{1 } } = k^{2 }. S_{ABC }[/tex]
[tex]\triangle PQC \cong \triangle P_{1 } Q_{1 } C_{1 } \Rightarrow S_{PQC } = k^{2 } S_{ABC }[/tex]
$$ \Leftrightarrow S_{PQC } = k^{2 } .\frac{a.b}{2}$$
[tex]C C_{1 } = CM - C_{1 }M = CM - k.CM[/tex]
$$ \Rightarrow C C_{1 } = h - k.h $$
[tex]V_{призм. } = S_{PQC }.C C_{1 } \Leftrightarrow V_{призм. } = k^{2 }. \frac{a.b}{2}(h - kh)[/tex]

Обемът на призмата е функция на коефициента на подобие $k$: на основните на пирамидата и призмста

[tex]V_{(к) } = k^{2 } \frac{a.b}{2}.h - k^{3 } \frac{a.b}{2}.h[/tex]
[tex]\frac{a.b}{2}.h= m= const[/tex]
[tex]V_{(к,)} = k^{2 }m - k^{3 }m[/tex]
[tex]V' = 2km - 3 k^{2 }m = 0 \Leftrightarrow km(2 - 3k) = 0 , km \ne 0 \Rightarrow 2 - 3k = 0 \Rightarrow k = \frac{2}{3}[/tex]
Получихме,че за [tex]k = \frac{2}{3}[/tex] функцията притежава екстремум.
[tex]V'' = 2m - 6km[/tex]
[tex]V_{ (\frac{2}{3}) }'' = 2m - 6m. \frac{2}{3}= -2m<0 \Rightarrow[/tex] за [tex]k = \frac{2}{3}[/tex] функцията достига своя максимум.
Получихме,че за [tex]k = \frac{2}{3}[/tex] призмата ще има максимален обем:
[tex]V_{max } = (\frac{2}{3}) ^{2 }. \frac{a.b}{2}.h - (\frac{2}{3}) ^{3 }. \frac{a.b}{2}h = ( \frac{4}{9} - \frac{8}{27}) \frac{a.b}{2}h = \frac{12-8}{27}. \frac{a.b}{2}h = \frac{2}{27} abh[/tex]

[MMia]

Много благодаря!